Новые границы алгебраической константы Никольского

Abstract

Пусть $M_{n}=\sup_{P\in \mathcal{P}_{n}\setminus \{0\}} \frac{\max_{x\in[-1,1]}|P(x)|}{\int_{-1}^{1}|P(x)|\,dx}$ --- константа Никольского междуравномерной и интегральной нормами для алгебраических полиномов с комплекснымикоэффициентами степени не выше $n$. D. Amir и Z. Ziegler (1976) доказали, что$0.125(n+1)^{2}\le M_{n}\le 0.5(n+1)^{2}$ для $n\ge 0$. Аналогичная оценкасверху получена T.K. Ho (1976). F. Dai, D. Gorbachev и S. Tikhonov (2019--2020)уточнили этот результат, установив, что $M_{n}=Mn^{2}+o(n^{2})$ при $n\to\infty$, где $M\in (0.141,0.192)$ --- точная константа Никольского для целыхфункций экспоненциального сферического типа в пространстве$L^{1}(\mathbb{R}^{2})$ и функций экспоненциального типа в $L^{1}(\mathbb{R})$с весом $|x|$. Мы доказываем, что для произвольного $n\ge 0$ имеем $M(n+1)^{2}\le M_{n}\leM(n+2)^{2}$, где $M\in (0.1410,0.1411)$. Данное утверждение также позволяетуточнить точную константу Джексона--Никольского для полиномов на евклидовойсфере $\mathbb{S}^{2}$. Доказательство базируется на взаимосвязи алгебраическихконстант Никольского с тригонометрическими константами Бернштейна--Никольскогои наших результатах об оценках последних (2018--2019). Также мы применяемхарактеризацию экстремального алгебраического полинома, полученную D. Amir иZ. Ziegler (1976), В.В. Арестовым и М.В. Дейкаловой (2015). С помощью этойхарактеризации мы составляем тригонометрическую систему для определения нулейэкстремального полинома, которую решаем приближенно с необходимой точностью спомощью метода Ньютона.