Развитие понятия «артиновость» для алгебр Ли

Abstract

В статье рассматривается развитие понятия "артиновость"для алгебр Ли. Понятие артиновости было введено для ассоциативных колец с условием минимальности. Одновременно с этим оно распространилось на модули и подалгебры. Чуть позже стали рассматривать артиновы йордановы алгебры. Для таких алгебр роль одностороннего идеала играет квадратичный идеал или, как назвал его Н.Джекобсон, вутренний идеал. Артиновость для алгебр Ли через идеалы определяли Ю.А. Бахтурин, С.А. Пихтильков и В.М. Поляков. Они рассматривали специальные артиновы алгебры Ли. С.А. Пихтильков применял артиновы алгебры Ли для построения структурной теории специальных алгебр Ли. Джорджия Бенкарт определила артиновость для алгебр Ли через внутренние идеалы. Ф. Лопес, Е. Гарсия, Г. Лозано исследовали понятие внутреннего идеала применительно к артиновости с помощью йордановых пар. Определение артиновости для алгебр Ли в данной статье представлено в трёх смыслах: через подалгебры, идеалы и внутренние идеалы. Представлена установленная авторами ранее связь между данными определениями. Рассмотрены примеры артиновых алгебр Ли. Описано применение артиновых алгебр Ли к решению проблемы Михалева: первичный радикал артиновой алгебры Ли является разрешимым.