Abstract
This paper considers a dynamic problem of computing generators of a polyhedral cone. The problem is to sequentially perform operations of adding and removing inequalities from a facet description of the polyhedral cone with a corresponding re-computation of generators. The application of a double description method for both operations is discussed and complexity estimation is given in the paper. Adding a new inequality corresponds to a single step of the double description method. It can be performed with time complexity being quadratic or cubic of the input size for the current step, depending on the modification of the method and adjacency tests chosen. We give complexity bounds for adding a single inequality with widely used algebraic and combinatorial adjacency tests. The problem of removing inequalities is intrinsically much harder, compared to adding inequalities. We briefly describe the naive and incremental algorithms and show an example with output size being superpolynomial of the input size in case of removing a single inequality. A subclass of problems with certain adjacency properties is investigated, for this subclass we prove that the output size is bounded by a quadratic function of the input size. Finally, we prove that for the distinguished subclass any finite sequence of adding and removing inequalities can be performed in polynomial time of the input size.
Highlights
Основные понятия и обозначенияЛюбой выпуклый полиэдр (многогранник) в Qd может быть представлен в двух видах: Вершинное описание – как сумма по-Минковскому выпуклой и конической оболочек конечных систем векторов:
Любой выпуклый полиэдр в Qd может быть представлен в двух видах: Вершинное описание – как сумма по-Минковскому выпуклой и конической оболочек конечных систем векторов:
This paper considers a dynamic problem of computing generators of a polyhedral cone
Summary
Любой выпуклый полиэдр (многогранник) в Qd может быть представлен в двух видах: Вершинное описание – как сумма по-Минковскому выпуклой и конической оболочек конечных систем векторов:. Задача построения двойственного описания выпуклого полиэдра в Qd сводится к аналогичной задаче для полиэдрального конуса в Qd+1 (см., например, [4]). В результате выполнения каждой из указанных операций требуется получить неприводимые вершинное и фасетное описания конуса Ck. Таким образом, операция (1) соответствует добавлению неравенства к фасетному описанию конуса, а операция (2) – удалению неравенства из фасетного описания, в обоих случаях производится перестройка остова. Рассматриваемая задача построения остова конуса в дальнейшем называется динамической по аналогии с динамической задачей построения выпуклой оболочки точек, множество которых может меняться путем добавления или удаления точек в процессе работы. В разделе 2 рассматривается операция добавления неравенства к фасетному описанию конуса с помощью метода двойного описания, приводятся оценки трудоемкости. В начале шага известны вершинное и фасетное описания текущего конуса Ck–1, а также множество E(Ck–1) пар смежных векторов его остова. В конце шага те же данные определяются для конуса Ck. Таким образом, шаг метода двойного описания соответствует операции (1)
Sign-in/Register to view highlights & summary Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a callMore From: Bulletin of the South Ural State University series "Mathematics. Mechanics. Physics"
Disclaimer: All third-party content on this website/platform is and will remain the property of their respective owners and is provided on "as is" basis without any warranties, express or implied. Use of third-party content does not indicate any affiliation, sponsorship with or endorsement by them. Any references to third-party content is to identify the corresponding services and shall be considered fair use under The CopyrightLaw.
