Об индексе бисингулярного оператора с инволютивным сдвигом

Abstract

Listen

Translate article

В теории сингулярных операторов с инволютивным сдвигом полностью изучены вопросы н{\"е}теровости (фредгольмовости) и индекса оператора вида $A+VB$, где $A$ и $B$~--- сингулярные операторы, а $V$~--- оператор инволютивного сдвига в пространстве $p$-суммируемых функций на простом замкнутом контуре типа Ляпунова. Вместе с оператором $A+VB$ рассматривается соответствующий матричный сингулярный оператор без сдвига $M=\left(\begin{array}{cc}A&{VBV}\\B&{VAV}\end{array}\right)$. Хорошо известно, что операторы $A+VB$ и $M$ н{\"е}теровы или нет одновременно, а их индексы относятся как 1:2. Аналогичные вопросы об одновременной н{\"е}теровости и пропорциональности индексов возникают для бисингулярных операторов с инволютивным сдвигом $A+WB$ и их соответствующих матричных операторов $M=\left(\begin{array}{cc}A&{WBW}\\B&{WAW}\end{array}\right)$, где $A$ и $B$~--- бисингулярные операторы, а $W$~--- оператор инволютивного сдвига в пространстве $p$-суммируемых функций на прямом произведении простых замкнутых контуров типа Ляпунова. В настоящей работе исследованы бисингулярные операторы с инволютивным сдвигом, распадающимся на одномерные компоненты. Рассмотрены два вида таких сдвигов~--- покоординатный и перекрестный. В этих случаях соответствующие матричные операторы являются матричными бисингулярными операторами без сдвига. Получена одновременная н{\"е}теровость бисингулярного оператора со сдвигом и соответствующего матричного бисингулярного оператора без сдвига. Установлена пропорциональность индексов бисингулярных операторов с покоординатным сдвигом и соответствующих матричных операторов, а именно: доказано, что индексы этих операторов относятся как 1:2. В частном случае такой же результат об индексах получен и для перекрестного сдвига.