НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ

Д В Горбачев,В И Иванов,Е П Офицеров,О И Смирнов

doi:10.22405/2226-8383-2017-18-4-139-166

Abstract

The paper is devoted to a survey of the main results obtained in the solution of the Tura´n and Fejer extremal problems on the torus; the Tur´an, Delsarte, Bohmann, and Logan extremal problems on the Euclidean space, half-line, and hyperboloid. We also give results obtained when solving a similar problem on the optimal argument in the module of continuity in the sharp Jackson inequality in the space L 2 on the Euclidean space and half-line. Most of the results were obtained by the authors of the review. The survey is based on a talk made by V.I. Ivanov at the conference «6th Workshop on Fourier Analysis and Related Fields, Pecs, Hungary, 2431 August 2017». We solve also the problem of the optimal argument on the hyperboloid. As the basic apparatus for solving extremal problems on the half-line, we use the Gauss and Markov quadrature formulae on the half-line with respect to the zeros of the eigenfunctions of the Sturm–Liouville problem. For multidimensional extremal problems we apply a reduction to one-dimensional problems by means of averaging of admissible functions over the Euclidean sphere. Extremal function is unique in all cases.

Highlights

The paper is devoted to a survey of the main results obtained in the solution
also give results obtained when solving a similar problem on the optimal argument in the module
Most of the results were obtained by the authors of the review

Summary

Введение

Работа посвящена обзору основных результатов, полученных при решении экстремальных задач Турана и Дельсарта на торе, экстремальных задач Турана, Фейера, Дельсарта, Бомана и Логана на евклидовом пространстве, полупрямой и гиперболоиде. То мы придем к экстремальной задаче Фейера для неотрицательных целых функций многих переменных экспоненциального типа. Для неотрицательных целых функций одной переменной экспоненциального типа она была решена Р.П. Если в задаче Турана для шара условие равенства функции нулю вне шара заменить на условие неположительности, мы получим задачу Дельсарта. До последнего времени решение задачи Дельсарта было известно только в одномерном случае, когда экстремальная функция в задаче Турана является экстремальной и в задаче Дельсарта. Была надежда получить решение Дельсарта для шара на пути ее решения для целых функций произвольного экспоненциального сферического типа. В задаче Бомана необходимо вычислить наименьший второй момент для интегрируемых неотрицательных целых функций экспоненциального сферического типа с фиксированным нулевым моментом. Что для любого выпуклого центральносимметричного компактного тела задача Логана эквивалентна задаче об оптимальном аргументе в модуле непрерывности, определяемом этим телом, в точном неравенстве Джексона в пространстве L2(Rd). Мы ограничимся экстремальными задачами на локально компактных многообразиях, имеющими общие подходы к их решению

Экстремальные задачи для преобразования Фурье на Rd

Экстремальные задачи для преобразования Фурье на гиперболоиде Hd

Заключение