Abstract
Данная работа посвящена проблеме устойчивости малого периодического решения нормальной автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. При исследовании устойчивости периодического решения автономной системы естественно анализировать локальную динамику пересечений возмущенных траекторий с ортогональными сечениями соответствующего цикла. Путем введения специальной системы координат, в которой одна из осей направлена по касательной к траектории периодического решения, задача об орбитальной устойчивости периодического решения сводится к задаче об устойчивости по Ляпунову нулевого решения вспомогательной системы с периодической по t правой частью. Для вспомогательной системы, размерность которой на единицу меньше размерности исходной системы, в линейном приближении вопрос об устойчивости нулевого решения сводится к оценке мультипликаторов матрицы монодромии. Таким образом, по теореме Андронова — Витта реализуется классический подход к исследованию орбитальной устойчивости периодического решения. При этом имеет место некритический случай орбитальной устойчивости. Такой подход традиционно используется и в условиях бифуркации типа Хопфа для систем с параметром. В данной работе для автономной системы с параметром получены условия бифуркации малого решения, период которого близок к периоду решений соответствующей линейной однородной системы. Сформулировано определение свойства орбитальной устойчивости по параметру, согласно которому возмущенные правые полутраектории сколь угодно близки к исследуемому циклу не только за счет малости возмущений начальных значений, но и за счет малости параметра. При этом использована идея ослабления требований определения устойчивости ляпуновского типа, предложенная М.М. Хапаевым. Свойство орбитальной устойчивости по параметру может иметь место и при наличии орбитальной неустойчивости исследуемого цикла в классическом смысле. Для исследования орбитальной устойчивости малого периодического решения по параметру использовано нелинейное приближение упомянутой выше вспомогательной системы возмущенных движений.
Highlights
В данной работе определим новое свойство орбитальной устойчивости
This work is devoted to the problem of stability
natural to analyze the local dynamics of intersections of perturbed trajectories
Summary
При исследовании устойчивости периодического решения автономной системы дифференциальных уравнений естественно возникает вопрос о близости к соответствующему циклу возмущенных траекторий. При наличии у нулевого решения свойства устойчивости по параметру возмущенные движения сколь угодно близки к нулевому решению, если достаточно малы начальные значения возмущенных решений и параметр изучаемой системы дифференциальных уравнений. Что ω-периодическое решение y(t, α, μ), y(0, α, μ) = α системы (1) является малым, если для величин α, μ, ω существует совместная параметризация вида a = a(α) = α(a0 + a(α)), a0 ̸= 0n+1, lim a(α) = 0n+1; α→0 μ = μ(α) = α(μ0 + μ(α)), μ0 ̸= 0m, lim μ(α) = 0m; α→0. Малое ω-периодическое решение вида (2) системы (1) орбитально αустойчиво, если для сколь угодно малого ε > 0 существует такое значение δ > 0, что при всех величинах a1, α, удовлетворяющих условиям a1 ∈ U (T, ε), α < δ, и при всех t > 0 имеет место включение y(t, a1, μ(α)) ∈ U (T, ε). Для системы (1) найти условия бифуркации ω-периодического решения вида (2), устойчивого по определению 2
Sign-in/Register to view highlights & summary Sign-in/Register to access full text options 
Free) 
Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a call
