К вопросу о локальном расширении группы параллельных переносов трехмерного пространства

Abstract

В современной геометрии актуальна задача расширения транзитивной группы Ли $G$, действующей в~многообразии $M$. Под расширением транзитивной группы Ли $G$ понимается группа Ли $G_1$, содержащая $G$ в виде подгруппы Ли и тоже транзитивная на $M$, причем ограничение этого транзитивного действия на $G$ дает исходное транзитивное действие группы Ли~$G$. В~частности, можно говорить о расширении группы параллельных переносов трехмерного пространства $R^3$. В данной работе ставится задача о нахождении всех локально дважды транзитивных расширений группы параллельных переносов трехмерного пространства. Эта задача сводится к вычислению алгебр Ли локально дважды транзитивных расширений группы параллельных переносов. Базисные операторы таких алгебр Ли находятся из решений особых систем трех дифференциальных уравнений. Доказано, что матрицы коэффициентов этих систем дифференциальных уравнений коммутируют между собой. Первая матрица приводится к жордановой форме, а остальные две матрицы упрощаются используя коммутативность и применяя допустимые преобразования. В результате имеем шесть типов алгебр Ли. Нахождению явных видов таких алгебр Ли и им соответствующих локальных групп Ли преобразований трехмерного пространства будет посвящена отдельная работа.