Abstract
The method of M.N. Lagutinski (1871-1915) allows to find rational integrals and Darboux polynomials for given differential ring and thus can be used for integration of ordinary differential equations in symbolic form. A realization of Lagutinski method was made under free opensource mathematics software system Sage and will be presented in this article with application for symbolic integration of 1st order differential equations. In the first part of the article basic concepts of the Lagutinski method is briefly stated for polynomials rings. Then this method is applied to search of algebraic integrated curves for given ordinary differential equations of the form d + d with , Q[, ]. It is shown how the Lagutinski method allows to look for curves of the given order or to prove that there are not such curves. In particular questions about the optimization of computations and integration in micronomials are considered. The theory and its realization in Sage are tested on numerous examples from standard for Russia text-book by A.F. Filippov. Some recommendations for optimization of the Lagutinski method usage are made in the conclusion of the article.
Highlights
В первой части статьи кратко изложены основные понятия метода Лагутинского для полиномиальных колец, затем этот метод приложен к отысканию алгебраических интегральных кривых дифференциальных уравнений вида pdx + qdy, где p, q ∈ Q[x, y]
A realization of Lagutinski method was made under free opensource mathematics software system Sage and will be presented in this article with application for symbolic integration of 1st order differential equations
In the first part of the article basic concepts of the Lagutinski method is briefly stated for polynomials rings
Summary
Пусть R — полиномиальное кольцо с дифференцированием D и полем констант Q. Сетное упорядоченное множество B элементов mj кольца R будем называть базисом кольца, если 1) любой элемент кольца R можно представить как линейную комбинацию конченого числа элементов множества B с постоянными коэффициентами; 2) произведение любых двух элементов множества B принадлежит B, и следует строго после обоих сомножителей, т.е. В дальнейшем по умолчанию используется базис, образованный мономами в градуированном лексикографическом упорядочении (glex-упорядочении). Порядком дроби f /g будем называть максимум из порядков числителя и знаменателя. С тройкой R, D, B свяжем последовательность определителей Лагутинского. С этой целью вообразим бесконечную матрицу, первой строкой которой служит m1, m2, . Второй строкой — производная первой Dm1, Dm2, . Третьей — вторая производная первой D2m1, D2m2, . Угловой минор n-го порядка этой матрицы будем обозначать как ∆n и называть определителем Лагутинского n-го порядка. Эти определители относительно стандартного glex-базиса были впервые введены М.Н. Лагутинским (1871–1915) [2, 3], ему же в существенном принадлежит изложенный ниже метод отыскания интегралов дифференцирования кольца, о нем см. [12]
Sign-in/Register to view highlights & summary Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a callMore From: RUDN JOURNAL OF MATHEMATICS, INFORMATION SCIENCES AND PHYSICS
Disclaimer: All third-party content on this website/platform is and will remain the property of their respective owners and is provided on "as is" basis without any warranties, express or implied. Use of third-party content does not indicate any affiliation, sponsorship with or endorsement by them. Any references to third-party content is to identify the corresponding services and shall be considered fair use under The CopyrightLaw.
