Метод сеток приближенного решения начально-краевых задач для обобщенных уравнений конвекции-диффузии

Abstract

В прямоугольной области исследуются начально-краевые задачи для одномерных по пространству обобщенных уравнений конвекции-диффузии с оператором Бесселя и дробными производными в смысле Римана~--- Лиувилля и Капуто порядка $\alpha$ (0<$\alpha$<1) и с граничные условия первого и третьего рода. Уравнение конвекции-диффузии дробного порядка с оператором Бесселя возникает при переходе от трехмерного уравнения конвекции-диффузии дробного порядка к цилиндрическим (сферическим) координатам, в случае, когда решение $u=u(r)$ не зависит ни от~$z$, ни от~$\varphi$. Для численного решения рассматриваемых задач строятся монотонные разностные схемы второго порядка точности по параметрам сетки, аппроксимирующие эти задачи на равномерных сетках. С~помощью метода энергетических неравенств для решения начально-краевых задач получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках при предположении существования регулярного решения исходной дифференциальной задачи. Из полученных априорных оценок следуют единственность и устойчивость решения по правой части и начальным данным, а также в~силу линейности разностных задач сходимость решения соответствующей разностной задачи к~решению исходной дифференциальной задачи со скоростью $O(h^2+\tau^2)$.