Abstract
Внешние биллиарды были введены Б. Нойманном в 50-х годах ХХ века и стали популярны в 70-х благодаря Ю. Мозеру, который рассматривал внешний, или двойственный, биллиард как игрушечную модель небесной механики. Задача об устойчивости Солнечной системы обладает тем свойством, что "легко выписать n уравнений движения частиц, но сложно понять это движение интуитивно"; в связи с этим, Мозер предложил рассмотреть ранее поставленную Б. Нойманном задачу внешнего биллиарда, обладающую тем же свойством.Одним из классических примеров динамической систем является внешний биллиард вне правильного ????-угольника; в частности, с ним связаны проблемы существования апериодической траектории, а также полноты периодических точек. Эти проблемы решены лишь для ограниченного количества частных случаев.При ???? = 3, 4, 6 стол является решеточным, и, как следствие, апериодических точек нет, а периодические точки образуют множество полной меры. В 1993 году, С. Табачникову удалось найти апериодическую точку в случае правильного пятиугольника; сделано это было с помощью ренормализационной схемы - метода, имеющего фундаментальное значение при исследовании самоподобных динамических систем.По мнению Р. Шварца, следующими по сложности являются случаи n = 10,8,12; в этих случаях, а также в случае ???? = 5 для внешнего биллиарда удается построить ренормализационную схему, которая, как пишет Шварц, “позволяет дать (как минимум, в принципе) полное описание того, что происходит”.Позже, автору удалось обнаружить самоподобные структуры и построить ренормализационную схему для случаев правильных восьми- и двенадцатиугольника.Данная же статья посвящена внешнему биллиарду вне правильного десятиугольника. Доказано существование апериодической орбиты для внешнего биллиарда вне правильного десятиугольника, а также, что почти все траектории такого внешнего биллиарда являются периодическими; явно выписаны все возможные периоды. В основе работы лежит классическая технология поиска и исследования ренормализационной схемы. Возникающие в случае ???? = 10 периодические структуры похожи на периодические структуры в случае ???? = 5, но все же имеют свои особенности.
Highlights
This article is devoted to outer billiard outside regular decagon
The work is based on classical technology of search and research of renormalization scheme
Periodic structures which occur in case n = 10 are similar to periodic structures in case n = 5, but has their own features
Summary
Пусть γ — выпуклая фигура на плоскости R2, а p — точка вне ее. Проведем правую относительно p касательную к γ; определим T p ≡ T (p) как точку, симметричную p относительно точки касания. Точку p ∈ R2∖γ назовем периодической, если существует такое натуральное n, что T np = p; минимальное такое n назовем периодом точки p и обозначим как per(p). (i) Существует ли апериодическая точка для внешнего биллиарда вне правильного nугольника?. (ii) Верно ли, что периодические точки образуют вне стола множество полной меры для внешнего биллиарда вне правильного n-угольника?. Cлучаи n = 3, 4, 6 являются решеточными и тривиальными; в этих случаях, апериодической точки нет, а периодические точки, как следствие, образуют множество полной меры. Также их монографию [10]). Для внешнего биллиарда вне правильного десятиугольника существует апериодическая точка. В случае внешнего биллиарда вне правильного десятиугольника, периодические точки образуют вне стола множество полной меры. Тогда B2 есть множество всевозможных периодов периодических точек для внешнего биллиарда вне правильного десятиугольника
Sign-in/Register to view highlights & summary Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a callDisclaimer: All third-party content on this website/platform is and will remain the property of their respective owners and is provided on "as is" basis without any warranties, express or implied. Use of third-party content does not indicate any affiliation, sponsorship with or endorsement by them. Any references to third-party content is to identify the corresponding services and shall be considered fair use under The CopyrightLaw.
