Order Degenerate Equations Research Articles

On the solvability of an initial boundary problem for a high even order degenerate equation

Рассмотрено вырождающееся дифференциальное уравнение в частных производных высокого четного порядка в прямоугольнике. Для рассматриваемого уравнения сформулирована одна начально-граничная задача и исследованы единственность, существование и устойчивость ее решения. Единственность решения задачи доказана методом интегральных тождеств. Существование решения задачи исследовано методом разделения переменных. Здесь сначала исследована спектральная задача для обыкновенного дифференциального уравнения высокого четного порядка, вытекающая из поставленной задачи при разделении переменных. Построена функция Грина спектральной задачи. С еe помощью спектральная задача эквивалентно сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с симметричным ядром. Отсюда на основании теории интегральных уравнений заключено, что существует счетное число собственных значений и собственных функций спектральной задачи. Найдены условия, при которых заданная функция разлагается в равномерно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям спектральной задачи. C использованием свойств функции Грина и собственных функций спектральной задачи доказана лемма о равномерной сходимости некоторых билинейных рядов. Доказаны также леммы о порядке коэффициентов Фурье заданной функции. Решение изучаемой задачи выписано в виде суммы ряда Фурье по системе собственных функций спектральной задачи. Равномерная сходимость этого ряда и рядов, полученных из него почленным дифференцированием, доказана с помощью лемм, перечисленных выше. В конце статьи получены две оценки для решения поставленной задачи, одна из которых - в пространстве квадратично суммируемых функций с весом, а другая - в пространстве непрерывных функций. Из этих неравенств следует устойчивость решения в соответствующих пространствах.

Regularity and monotonicity for solutions to a continuum model of epitaxial growth with nonlocal elastic effects

Abstract We study the following parabolic nonlocal 4-th order degenerate equation: u t = - [ 2 ⁢ π ⁢ H ⁢ ( u x ) + ln ⁡ ( u x ⁢ x + a ) + 3 2 ⁢ ( u x ⁢ x + a ) 2 ] x ⁢ x , u_{t}=-\Bigl{[}2\pi H(u_{x})+\ln(u_{xx}+a)+\frac{3}{2}(u_{xx}+a)^{2}\Bigr{]}_{% xx}, arising from the epitaxial growth on crystalline materials. Here H denotes the Hilbert transform, and a > 0 {a>0} is a given parameter. By relying on the theory of gradient flows, we first prove the global existence of a variational inequality solution with a general initial datum. Furthermore, to obtain a global strong solution, the main difficulty is the singularity of the logarithmic term when u x ⁢ x + a {u_{xx}+a} approaches zero. Thus we show that, if the initial datum u 0 {u_{0}} is such that ( u 0 ) x ⁢ x + a {(u_{0})_{xx}+a} is uniformly bounded away from zero, then such property is preserved for all positive times. Finally, we will prove several higher regularity results for this global strong solution. These finer properties provide a rigorous justification for the global-in-time monotone solution to the epitaxial growth model with nonlocal elastic effects on vicinal surface.

Solutions of third order degenerate equations with infinite delay in Banach spaces

We study the well-posedness of the third order degenerate differential equations with infinite delay$$(P_3): (Mu)'''(t) + (Lu)''(t) + (Bu)'(t)= Au(t) + \int _{-\infty }^t a(t-s)Au(s)ds + f(t){\text{ on }}[0, 2\pi ]$$in Lebesgue–Bochner spaces $$L^p(\mathbb{T};\; X)$$ and periodic Besov spaces $$B_{p,\,q}^s(\mathbb{T};\; X)$$, where A, B, L and M are closed linear operators on a Banach space X satisfying $$D(A)\subset D(B)\cap D(L)\cap D(M)$$ and $$ a\in L^1(\mathbb{R}_+)$$. Using known operator-valued Fourier multiplier theorems, we give necessary and sufficient conditions for $$(P_3)$$ to be $$L^p$$-well-posed(or $$B_{p,q}^s$$-well-posed). Concrete examples are also given to support our main abstract results.