Пусть {ϕi} — система с лучайных величин, удовлетворяющая нек оторым условиям, наиболее существенн ым из которых являетс я требование слабой мультипликат ивности, т.е. интегралы\(b_{i_1 i_2 ...i_r } = \int {\varphi _{i_1 } \varphi _{i_2 } ...\varphi _{i_r } }\)dP должны б ыть «малы», еслиi1,i2,...,i r — попарно различные целые числа. Точнее, мы предполагаем, что\(\left\| {B_r } \right\| = (\Sigma b_{i_1 i_2 ...i_r }^2 )^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}}< \infty\) дл я некоторого фиксированного четн огоr≧4, или для всех чет ных чиселr=4, 6, ..., но в последнем слу чае величины ∥Br∥ должны и меть определенный по рядок приr→∞; здесь суммирован ие распространяется на всевозможные набо ры натуральных чисел с условиями 1≦i1<i2<... <ir. Пусть\(S_n = \mathop \Sigma \limits_{i = 1}^n a_i \varphi _i\) И\(A_n = \left( {\mathop \Sigma \limits_{i = 1}^n a_i^2 } \right)^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}}\), едe {a i }; — некоторая чи словая последовател ьность. Теорема 1. Пусть r — четн ое натуральное число, r≧4, $$\int {\varphi _i^r dP\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{ \leqslant } K(< \infty ) (i = 1,2,...)} , \left\| {B_r } \right\|< \infty u A_n \to \infty npu n \to \infty .$$ Тогда для произвольн ого e>0 выполнено соот ношение $$P[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } A_n^{ - 1} (\log A_n )^{{{ - 1} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 1} r}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} r}} (\log \log A_n )^{{{ - (1 + \varepsilon )} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - (1 + \varepsilon )} r}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} r}} |S_n | = 0] = 1.$$ Теорема 2.Если с вероя тностью 1 Mbl имеем ¦ϕi¦≦К (<∞) (i=1, 2,...), $$\begin{array}{*{20}c} {\mathop {\lim \sup }\limits_{r \to \infty } \left\| {B_r } \right\|^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 r}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} r}} = B(< \infty )} & u & {A_n \to \infty } & {\begin{array}{*{20}c} {npu} & {n \to \infty } \\ \end{array} } \\ \end{array} ,$$ mo P $$P[\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \{ 2(K^2 + B^2 )A_n^{ - 1} \log \log A_n \} ^{{{ - 1} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 1} 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}} |S_n |\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{ \leqslant } 1] = 1.$$ .