Classes Of Differentiable Periodic Functions Research Articles

О наилучшем приближении и значениях поперечников некоторых классов функций в весовом пространстве Бергмана

We consider the extremal problem of finding exact constants in the Jackson-Stechkin type inequalities connecting the best approximations of analytic in the unit circle U={z:|z|<1} functions by algebraic complex polynomials and the averaged values of the higher-order continuity modules of the r-th derivatives of functions in the Bergman weight space B_2,γ. The classes of analytic in the unit circle functions W^((r))_m(τ) and W^((r))_m(τ,Φ), which satisfy some specific conditions are introduced. For the introduced classes of functions, the exact values of some known n-widths are calculated. In this paper, we use the methods of solving extremal problems in normalized spaces of functions analytic in a circle and a wellknown method developed by V.M. Tikhomirov for estimating from below the n-widths of functional classes in various Banach spaces. The results obtained in the work generalize and extend the results of the works by S.B. Vakarchuk and A.N. Shchitova obtained for the classes of differentiable periodic functions to the case of analytic in the unit circle functions belonging to the Bergmann weight space.

Точные равенства наближения функций класса Соболева их обобщенными интегралами Пуассона

Решение задач о движении системы взаимодействующих материальных точек в большинстве случаев сводится как к обычным дифференциальным уравнениям, так и к уравнениям в частных производных. Одним из решений такого типа уравнений являются так называемые обобщенные интегралы Пуассона, которые в отдельных случаях превращаются в хорошо известные интегралы Абеля-Пуассона или бигармонические интегралы Пуассона. Существует ряд результатов по приближению различных классов дифференцируемых периодических и непериодических функций вышеупомянутыми интегралами (так называемая задача Колмогорова-Никольского в терминологии А.И. Степанця). Но практически во всех решенных задачах Колмогорова-Никольского как для интегралов Абеля-Пуассона, так и для бигармонических интегралов Пуассона с точки зрения математического моделирования (вычислительного эксперимента) существенный недостаток. Суть этого недостатка состоит в том, что в большинстве решенных ранее задач Колмо-горова-Никольского для интегралов Абеля-Пуассона и бигармонических интегралов Пуассона (в конечном итоге) был получен только главный и остаточный члены приближения, что существенно может влиять на точность вычислительного опыта. Данная работа посвящена получению чётких равенств приближения функций классов Соболева их обобщенными интегралами Пуассона. Итак, доказанная в работе теорема является обобщением и уточнением ранее известных результатов, характеризующих апроксимативные свойства интегралов Абеля-Пуассона и бигармонических интегралов Пуассона на классах дифференцируемых периодических функций. Особенностью решенной в работе задачи приближения для обобщенного интеграла Пуас-сона на классах дифференцирующих функций является то, что полученный результат удалось записать с помощью известных констант Ахиезера-Крейна-Фавара. Указанный факт значительно повышает точность результата математического моделирования (вычислительного эксперимента) любого реального процесса, описываемого с помощью обобщенного интеграла Пуассона. Эти результаты в дальнейшем смогут значительно расширить рамки применения задач Колмогорова-Никольского к математическому моделированию.

Sharp estimates for mean square approximations of classes of differentiable periodic functions by shift spaces

Sharp estimates for mean square approximations of classes of differentiable periodic functions by shift spaces

Sharp Estimates for Mean Square Approximations of Classes of Differentiable Periodic Functions by Shift Spaces

Let L2 be the space of 2π-periodic square-summable functions and E(f, X)2 be the best approximation of f by the space X in L2. For n ∈ ℕ and B ∈ L2, let $${{\Bbb S}_{B,n}}$$ be the space of functions s of the form $$s\left( x \right) = \sum\limits_{j = 0}^{2n - 1} {{\beta _j}B\left( {x - \frac{{j\pi }}{n}} \right)} $$ . This paper describes all spaces $${{\Bbb S}_{B,n}}$$ that satisfy the exact inequality $$E{\left( {f,{S_{B,n}}} \right)_2} \leqslant \frac{1}{{^{{n^r}}}}\parallel {f^{\left( r \right)}}{\parallel _2}$$ . (2n–1)-dimensional subspaces fulfilling the same estimate are specified. Well-known inequalities are for approximation by trigonometric polynomials and splines obtained as special cases.

Sharp Remez-Type Inequalities for Differentiable Periodic Functions, Polynomials, and Splines

For any $$ \omega $$ > 0, β $$ \epsilon $$ (0, 2 $$ \omega $$ ), and any measurable set B $$ \epsilon $$ I d := [0,d], μB = β, we obtain the following sharp inequality of the Remez type: on the classes S φ (ω) of functions x with minimal period d(d ≥ 2ω) and a given sine-shaped 2 $$ \omega $$ -periodic comparison function '. In particular, we prove sharp Remez-type inequalities on the Sobolev classes of differentiable periodic functions. We also obtain inequalities of the indicated type in the spaces of trigonometric polynomials and polynomial splines.

On the order of relative approximation of classes of differentiable periodic functions by splines

In the case where n → ∞, we obtain order equalities for the best L q -approximations of the classes W p r , 1 ≤ q ≤ p ≤ 2, of differentiable periodical functions by splines from these classes.

On the exact values of the best approximations of classes of differentiable periodic functions by splines

We obtain the exact values of the best L1-approximations of classes WrF, r ∈ ℕ, of periodic functions whose rth derivative belongs to a given rearrangement-invariant set F, as well as of classes WrHω of periodic functions whose rth derivative has a given convex (upward) majorant ω(t) of the modulus of continuity, by subspaces of polynomial splines of order m ≥ r + 1 and of deficiency 1 with nodes at the points 2kπ/n and 2kπ/n + h, n ∈ ℕ, k ∈ ℤ, h ∈ (0, 2π/n). It is shown that these subspaces are extremal for the Kolmogorov widths of the corresponding functional classes.

Nonsymmetric approximations of classes of periodic functions by splines of defect 2 and Jackson-type inequalities

UDC 517.5 We determine the exact values of the best (α, β)-approximations and the best one-sided approximations of classes of differentiable periodic functions by splines of defect 2. We obtain new sharp Jackson-type inequalities for the best approximations and the best one-sided approximations by splines of defect 2.

On exact values of quasiwidths for some classes of differentiable periodic functions of two variables

1. Consider the problem of the determination of exact values of quasiwidths for classes of differentiable periodic functions of two variables in the Hilbert space LQ 2( ), Q = {} , 02 ≤≤ xy π , with the norm

On inequalities for seminorms of certain classes of differentiable periodic functions

We obtained the inequalities for upper bounds of seminorms of classes of 2π-periodic functions, which are determined by a linear differential operator and by the majorant of the modulus of continuity.

Best linear approximation of some classes of differentiable periodic functions

Best linear approximation of some classes of differentiable periodic functions

Diameters of some classes of differentiable periodic functions in the space L

In this paper, diameters in the sense of A. N. Kolmogorov are found for the class of 2π-periodic functions W(r)Hω in the space L, that is, d2n-1(W(r)Hω,L), where ω(t) is an upper-convex regular modulus of continuity (r, n=1, 2, ...). An estimate from below is found for diameters in the sense of I. M. Gel'fand, that is, d2n-!(W(r)Hω,L).

ON THE BEST QUADRATURE FORMULA OF THE FORM $ \sum_{k=1}^np_kf(x_k)$ FOR SOME CLASSES OF DIFFERENTIABLE PERIODIC FUNCTIONS

We solve the problem of the best quadrature formula of the form for the following classes of differentiable periodic functions: , (where is a convex modulus of continuity and is odd), and .

Approximation of certain classes of differentiable periodic functions by interpolational splines in a uniform decomposition

In this paper we obtain upper and lower bounds of a uniform approximation by interpolational splines of order r in a uniform decomposition on the classes of functions WrHω and W L r+2 and on the whole space Cr.

The approximation of certain classes of differentiable periodic functions of two variables by Fourier sums

The approximation of certain classes of differentiable periodic functions of two variables by Fourier sums

Exact inequalities for the upper bounds of seminorms on a class of periodic functions

We establish exact inequalities for the upper bounds of seminorms on classes of differentiable periodic functions, and as corollaries of them, exact inequalities between the best approximations by trigonometric polynomials of functions and their derivatives in the metrics of C and L.

Best quadrature formulas on classes of differentiable periodic functions

A solution is given to the problem of finding the best quadrature formula among formulas of the form $$\int_0^{2\pi } {f(x)dx \approx \sum\nolimits_{k = 0}^{m - 1} {\sum\nolimits_{l = 0}^\rho {pk,l} f^{(l)} (x_k ),} } $$ which are exact in the case of a constant, for p = r − 1, r = 1, 2, 3... and p = r − 2, r even, for the classes W(r) LqM of 2π-periodic functions.