Volume Polynomials for Some Polyhedra in Spaces of Constant Curvature

D I Sabitov,I Kh Sabitov

doi:10.18255/1818-1015-2012-6-161-169

Abstract

It is known that for each simplicial polyhedron P in 3-space there exists a monic polynomial Q depending on the combinatorial structure of P and the lengths of its edges only such that the volume of the polyhedron P as well as one of any polyhedron isometric to P and with the same combinatorial structure are roots of the polynomial Q. But this polynomial contains many millions of terms and it cannot be presented in an explicit form. In this work we indicate some special classes of polyhedra for which these polynomials can be found by a sufficiently effective algorithm which also works in spaces of constsnt curvature of any dimension.

Highlights

V 2 + a0(l) = 0 для объема, где a0(l) является известным многочленом от множества (l) квадратов длин ребер тетраэдра
Если вместо буквенных обозначений длин ребер брать их конкретные численные значения и на их основе сначала вычислить квадраты объемов тетраэдров, тогда вычисление многочлена объема будет существенно быстрее и ответ получится в виде многочлена с конкретными численными значениями, причем вычисления можно довести до конца для пирамид с числом вершин значительно больше 7
This polynomial contains many millions of terms and it cannot be presented in an explicit form

Summary

Эта формула может быть интерпретирована как полиномиальное уравнение

V 2 + a0(l) = 0 для объема, где a0(l) является известным многочленом от множества (l) квадратов длин ребер тетраэдра. A (l), N где коэффициенты ai(l) также являются некоторыми полиномами от квадратов длин ребер многогранника, с численными коэффициентами, зависящими от комбинаторного строения многогранника P , такой, что алгебраический объем любого многогранника, изометричного P и имеющего такое же комбинаторное строение, что и P , является корнем многочлена Q(V ). Данное в [2] доказательство существования такого многочлена является конструктивным, однако алгоритм его построения очень многовариантный, так как после каждого его шага для его продолжения есть много вариантов, и в конечном счете получается многочлен с очень большим количеством мономов. Рассмотрим примеры с многочленами для объема V октаэдров Брикара 1-го и 2-го типа. 2. Для октаэдра Брикара 1-го типа имеем следующие соотношения между длинами ребер. Рассмотрим теперь октаэдр Брикара 2-го типа со следующими соотношениями между длинами ребер.

Тогда многочлен для объема этого октаэдра имеет следующий вид

Список литературы

Volume Polynomials for Some Polyhedra in Spaces of Constant Curvature