Vertical vibration on a compound half-space of a homogeneous stratum with Gibson subsoil

Abstract

An exact expression is derived for the displacement transform of a rigid circular bodyperforming harmonic vertical vibration on a compound half-space comprising a homogeneous stratum of arbitrary Poisson's ratio with a frictionless bed and a Gibson subsoil which is an incompressible half-space with shear modulus increasing linearly with depth. The limiting case of either a Gibson half-space or a homogeneous half-space is recovered asthe frictionless bed approaches the surface or is pushed down to an infinite depth. Similarly, the static case is derived in the limit when the frequency of vibration tends to zero from which the further limiting case of a static homogeneous half-space interrupted bya frictionless horizontal plane is derived as the gradient of the Gibson shear modulus variation approaches zero. A practical result is confirmed: that the reduction of the stiflness of the soil due to the interruption of the frictionless bed is counteracted by the increasing rigidity of the Gibson subsoil so that, for a given depth of the frictionless bed. there exists a rate of increase of shear modulus of the Gibson subsoil which makesthecompound half-space behave as if it were a homogeneous elastic half-space. Numerical evaluation of the governing function for the Hankel transform of the surface displacement shows that the complete counteracting effect is provided by a variation which, produced upwards. gives a zero shear modulus at the surface like the basic Gibson soil of the Winklermodel. All the results show that surface shear modulus is still the dominant parameter andthat both the frictionless bed and non-homogeneity of the Gibson subsoil have only compensating secondary effects. Une expression exacte est donnée pour la transturmation par déplacement d'un corps circulaire rigide qui produit des vibrations verticales harmoniques sur un demi-espace compose comprenant une couche homogene ayant un coefticient de Poisson arbitraire avec une base sans frottement et un sous-sol Gibsonien qui est un demi-espace incompressible dont le module de cisaillement s'accroit linéairement avec la profondeur. Le cas limite d'un demi-espace Gibsonien ou d'un demi-espace homogéne est retrouvé lorsque la base sans frottement s'approche de la surface ou biens'enfonce jusqu'á une profondeur infinie. De méme, le cas statique est trouvé à la hmite lorsque la fréquence de vibration tendvers zéro, d'ou le cas limite supplémentaire d'un demi-espace homogene statique interrompu par un plan horizontal sans frottement trouvé lorsque legradient de la variation dans le module de cisaillement Gibsonien tend vers zéro. Un résultat pratique est confirmé la réduction de la rigiditédu sol due a I'interruption de la base sans frottement est contrebalanctée par la rigidité croissante du sous-sol Gibsonien. II s'ensuit que pour une pro-fondeur donnée de la base sans frottement il existe une vitesse d'accroissement du module de cisaillement du sous-sol Gibsonien, pour laquelle le demi-espace compose sé comporte comme s'il était un demi-espace homogene élastique. L'evaluation numérique de la fonction dominante pour la transformation type Hankel du dtplacement superficiel indique que I'effet opposant complet est fourni parune variation qui produit dans le cas de prolongement vers le haut un module de cisaillement zero a la surface, tout comme le sol Gibsonien basique du modtle de Winkler. Tous lesrésultats indiquent que le module de cisaillement superficiel reste le paramétre le plus important, tandis que la base sans frottement et la non-homogénéité du sous-sol Gibsonien néxercent que des effets secondaries compensateurs.