Universality of the asymptotics of the one-sided exit problem for integrated processes

Abstract

Nous considérons le problème unilatéral de sortie – ou problème unilatéral de barrière – pour des intégrales ($\alpha$-fractionnelles) de marches aléatoires et de processus de Lévy. Notre résultat principal est l’existence d’une fonction positive, décroissante $\alpha\mapsto\theta(\alpha)$ telle que la probabilité qu’une intégrale d’un processus de Lévy $\alpha$-fractionnel quelconque (ou marche aléatoire) avec certains moments exponentiels finis reste en dessous d’un niveau fixe jusqu’à un temps $T$ se comporte comme $T^{-\theta(\alpha)+\mathrm{o}(1)}$ pour $T$ grand. Nous analysons aussi la possibilité de remplacer le niveau fixe par une barrière différente qui satisfait certaines conditions de croissance (marge mouvante). Cela, en particulier, étend le résultat de Sinai sur l’exposant de survie d’une marche aléatoire simple intégrée à des marches aléatoires générales de moment exponentiel fini.