Uniqueness properties of convolution roots of p -adic and probability measures on simply connected nilpotent Lie groups

Abstract

For simply connected nilpotent Lie groups G we show that convolution roots (or—more generally—solutions of mixture-of-(convolution-)power equations) of probability measures with exponentially decreasing tail are uniquely determined. A similar property (up to scalars) holds in the algebra M C p (Γ) of complex- p -adic-valued measures on grids Γ in G . Also, M C p has no zero divisors. Furthermore, it is proved that on the semigroups of upper triangular matrices with entries in N 0 and 1 's on the diagonal, Poisson semigroups { μ t } t ≥0 are uniquely determined by μ 1 . Pour les groupes G simplement connexes et nilpotents nous démontrons que les racines de convolution (ou – plus généralement – les solutions d'équations de mixtures de puissances (par rapport à la convolution)) des mesures de probabilité à queues décroissant exponentiellement sont uniquement déterminées. Une propriété semblable (à des scalaires près) est vraie pour l'algèbre M C p (Γ) des mesures à valeurs dans les nombres complexes p -adiques C p sur des grilles Γ dans G . De plus, M C p (Γ) n'a pas de zéro-diviseurs. Nous prouvons aussi que sur les semi-groupes de matrices triangulaires supérieures avec éléments dans N 0 et 1 sur la diagonale, les semi-groupes { μ t } t ≥0 de Poisson sont uniquement déterminées par μ 1 .