Unified quantum SO(3) and SU(2) invariants for rational homology 3-spheres

Abstract

Inspired by E. Witten’s work, N. Reshetikhin and V. Turaev introduced in 1991 important invariants for 3–manifolds and links in 3–manifolds, the so-called quantum (WRT) SU (2) invariants. Short after, R. Kirby and P. Melvin defined a modification of these invariants, called the quantum (WRT) SO(3) invariants. Each of these invariants depends on a root of unity. In this thesis, we give a unification of these invariants. Given a rational homology 3–sphere SU (2) SO(3) M and a link L inside, we define the unified invariants IM,L and IM,L , such that the evaluation of these invariants at a root of unity equals the corresponding quantum (WRT) invariant. In the SU (2) case, we assume the order of the first homology group of the manifold to be odd. Therefore, for rational homology 3–spheres, our invariants dominate the whole set of SO(3) quantum (WRT) invariants and, for manifolds with the order of the first homology group odd, the whole set of SU (2) quantum (WRT) invariants. We further show, that the unified invariants have a strong integrality property, i.e. that they lie in modifications of the Habiro ring, which is a cyclotomic completion of the polynomial ring Z[q]. We also give a complete computation of the quantum (WRT) SO(3) and SU (2) invariants of lens spaces with a colored unknot inside. Zusammenfassung Von E. Wittens Arbeit inspiriert definierten N. Reshetikhin und V. Turaev im Jahre 1991 wichtige Invarianten fur 3–Mannigfaltikeiten und Verschlingungen in 3–Mannigfaltigkeiten, welche heute als (WRT) SU (2) Quanteninvarianten bekannt sind. Wenig spater fuhrten R. Kirby und P. Melvin die (WRT) SO(3) Quanteninvarianten ein, eine Modifikation der SU (2) Invarianten. Alle diese Invarianten hangen von einer Einheitswurzel ab. In dieser Dissertation geben wir eine Vereinigung dieser Invarianten an. Sei eine 3–dimensionale rationale Homologiesphare M und eine Verschlingung L in M gegeben. Wir definieren die SU (2) SO(3) vereinigten Invarianten IM,L und IM,L , so dass die Evaluierung dieser Invarianten an einer Einheitswurzel mit der entsprechenden (WRT) Quanteninvariante ubereinstimmt. Im SU (2) Fall verlangen wir, dass die Ordnung der ersten Homologiegruppe der 3–Mannigfaltigkeit M ungerade ist. Somit dominieren unsere Invarianten fur rationale Homolgiespharen die Menge aller (WRT) SO(3) Quanteninvarianten, respektive die Menge aller (WRT) SU (2) Quanteninvarianten fur Mannigfaltigkeiten mit erster Homolgiegruppe von ungerader Ordnung. Weiter zeigen wir, dass die vereinigten Invarianten eine starke Ganzzahligkeits–Eigenschaft besitzen: Sie liegen in Modifikationen des Habiro Rings, einem zyklotomischen Abschluss des Polynomrings Z[q]. Weiter geben wir eine vollstandige Berechnung der (WRT) SO(3) und SU (2) Quanteninvarianten von Linsenraumen mit einem gefarbten trivialen Knoten darin an.