Un lemme de Kazhdan-Margulis-Zassenhaus pour les géométries de Hilbert

Mickaël Crampon,Ludovic Marquis

doi:10.5802/ambp.330

Abstract

We prove a Kazhdan-Margulis-Zassenhaus lemma for Hilbert geometries. More precisely, in every dimension $n$ there exists a constant $\varepsilon_n > 0$ such that, for any properly open convex set $\O$ and any point $x \in \O$, any discrete group generated by a finite number of automorphisms of $\O$, which displace $x$ at a distance less than $\varepsilon_n$, is virtually nilpotent.

Highlights

Beaucoup d’attention a été portée jusqu’ici aux quotients compacts des géométries de Hilbert, plus connus sous le nom de convexes divisibles
Abstract. — We prove a Kazhdan-Margulis-Zassenhaus lemma for Hilbert geometries
Le lemme 4.6 montre qu’il existe εn > 0 tel que, pour tout couple (Ω, x) ∈ Es, l’ensemble Fεn(x) = {γ ∈ Aut(Ω) | dΩ(x, γ · x) εn} est inclus dans W

Summary

Introduction

Beaucoup d’attention a été portée jusqu’ici aux quotients compacts des géométries de Hilbert, plus connus sous le nom de convexes divisibles. Le but de cet article est de montrer un tel lemme pour les géométries de Hilbert : Théorème 1. — En toute dimension n, il existe une constante εn > 0 et un entier mn tels que, pour tout ouvert proprement convexe Ω, pour tout sous-groupe discret Γ de Aut(Ω), pour tout point x ∈ Ω, le groupe Γεn engendré par l’ensemble {γ ∈ Γ, dΩ(x, γ·x) εn} est virtuellement nilpotent. Suhyoung Choï [Cho96] avait obtenu un lemme de Kazhdan-Margulis-Zassenhaus pour les géométries de Hilbert divisibles en dimension 2 et notre démonstration du théorème 1 s’inspire d’une de ses idées. Dans le cas où Ω est strictement convexe et à bord C1, il n’est pas très difficile de classifier les sous-groupes discrets nilpotents de Aut(Ω). Ce sont les premiers pas pour décrire la topologie et la géométrie de la partie fine

Géométrie de Hilbert

Démonstration du théorème 1