Typicality and entropy of processes on infinite trees

Abstract

On considère un graphe d-régulier aléatoire avec n sommets uniformément distribué. Si d est fixé et n tend vers l’infini, nous pouvons alors relier les propriétés typiques (de grande probabilité) d’un tel graphe aléatoire avec une famille de processus aléatoires invariants (dénommés processus “typiques”) sur l’arbre d-régulier infini Td. Cette correspondance entre théorie ergodique sur Td et graphes réguliers aléatoires s’est déjà révélée fructueuse dans les deux directions. Ce papier poursuit l’investigation des processus typiques avec un accent mis sur l’entropie. Nous y étudions une notion naturelle d’entropie micro-état pour les processus invariants sur Td. Elle sert de raffinement quantitatif à la notion de typicalité et elle est intimement reliée à l’énergie libre asymptotique en physique statistique. Au moyen d’inégalités entropiques, nous démontrons des nouvelles conditions suffisantes de typicalité pour des processus markoviens sur les arêtes de l’arbre. Nous étendons aussi ces notions et résultats à des processus sur des arbres de Galton–Watson unimodulaires.