Tutte polynomials and bicycle dimension of ternary matroids

Abstract

Let M M be a ternary matroid, t ( M , x , y ) t\left ( {M,x,y} \right ) be its Tutte polynomial and d ( M ) d\left ( M \right ) be the dimension of the bicycle space of any representation of M M over GF ( 3 ) {\text {GF}}\left ( 3 \right ) . We show that, for j = e 2 i π / 3 j = {e^{2i\pi /3}} , the modulus of the complex number t ( M , j , j 2 ) t\left ( {M,j,{j^2}} \right ) is equal to ( 3 ) d ( M ) {\left ( {\sqrt 3 } \right )^{d\left ( M \right )}} . The proof relies on the study of the weight enumerator W C ( y ) {W_\mathcal {C}}\left ( y \right ) of the cycle space C \mathcal {C} of a representation of M M over GF ( 3 ) {\text {GF}}\left ( 3 \right ) evaluated at y = j y = j . The main tool is the concept of principal quadripartition of C \mathcal {C} which allows a precise analysis of the evolution of the relevant invariants under deletion and contraction of elements. Soit M M un matroïde ternaire, t ( M , x , y ) t\left ( {M,x,y} \right ) son polynôme de Tutte et d ( M ) d\left ( M \right ) la dimension de l’espace des bicycles d’une représentation quelconque de M M sur GF ( 3 ) {\text {GF}}\left ( 3 \right ) . Nous montrons que, pour j = e 2 i π / 3 j = {e^{2i\pi /3}} , le module du nombre complexe t ( M , j , j 2 ) t\left ( {M,j,{j^2}} \right ) est égal à ( 3 ) d ( M ) {\left ( {\sqrt 3 } \right )^{d\left ( M \right )}} . La preuve s’appuie sur l’étude de l’énumérateur de poids W C ( y ) {W_\mathcal {C}}\left ( y \right ) de l’espace des cycles C \mathcal {C} d’une représentation de M M sur GF ( 3 ) {\text {GF}}\left ( 3 \right ) pour la valeur y = j y = j . L’outil essentiel est le concept de quadripartition principale de C \mathcal {C} qui permet une analyse précise de l’évolution des invariants concernés relativement à la suppression ou contraction d’éléments.