Transience and recurrence of sets for branching random walk via non-standard stochastic orders

Abstract

Nous étudions comment la récurrence et la transience d’ensembles d’espace-temps pour une marche aléatoire branchante sur un graphe dépendent de la distribution de la progéniture. Un ensemble d’espace-temps A est appelé récurrent s’il est visité infiniment souvent sur l’événement de survie de la marche aléatoire branchante ; il est appelé transient si le nombre de visites est fini presque sûrement. Nous prouvons que si μ et ν sont deux distributions surcritiques de moyennes μ¯<ν¯ alors tout ensemble d’espace-temps qui est récurrent pour μ l’est aussi pour ν, et pareillement tout ensemble transient pour ν l’est aussi pour μ. Afin de prouver ce résultat nous introduisons un nouvel ordre partiel sur les mesures de probabilités que nous appelons germinal. Le résultat ci-dessus est ainsi vrai plus généralement pour deux mesures μ et ν telles que μ est plus petite que ν dans l’ordre germinal. Cette approche est inspirée par les travaux de Johnson et Junge (AIHP 2018) qui ont utilisé des notions reliées d’ordres stochastiques pour étudier le “frog model”.