Abstract
В статье решается краевая задача с наклонной производной для уравнения Лаврентьева-Бицадзе, которое является уравнением смешанного эллиптико-гиперболического типа. Уравнения смешанного типа применяются в трансзвуковой газодинамике. Ограниченное решение задачи ищется в полуплоскости, состоящей из верхней полуплоскости (в которой уравнение эллиптично) и примыкающей к ней полосы (в которой уравнение гиперболично). На границе области задается наклонная производная в направлении одной из характеристик. На границе верхней полуплоскости, которая является линией изменения типа уравнения, задаются условия сопряжения четвертого рода. В полосе гиперболичности решение представляется по формуле Даламбера, а в верхней полуплоскости, где уравнение эллиптично, ограниченное решение представляется интегралом Пуассона с неизвестной плотностью. Для неизвестной плотности интеграла Пуассона получено сингулярное интегральное уравнение, которое сводится к краевой задаче Римана для голоморфных функций. Решение этой задачи получено в явном виде. Таким образом, решение задачи с наклонной производной для уравнения Лаврентьева-Бицадзе получено в явном виде для случая полуплоскости с точностью до постоянного слагаемого. В конце статьи приводится пример решения задачи, подтверждающий теоретические выкладки.
Highlights
Уравнение Лаврентьева – Бицадзе решается в полуплоскости
The article solves the boundary value problem with an oblique derivative for the Lavrentyev – Bitsadze equation, which is an equation of the mixed elliptic-hyperbolic type
For unknown Poisson integral density a singular integral equation is obtained, which is reduced to the Riemann boundary value problem for holomorphic functions
Summary
По краевому условию (по заданной на прямой наклонной производной в направлении характеристик уравнения (2), заданных уравнениями. . А так как функция является гармонической и ограниченной в полуплоскости , то она представима в этой полуплоскости интегралом Пуассона. Применим к последнему интегралу формулу интегрирования «по частям»: Так как функция ограничена в полуплоскости , то функция ограничена на числовой прямой, и первое слагаемое в правой части последнего равенства равно 0. Что функция удовлетворяет на числовой прямой условию Гёльдера (включая бесконечно удалённую точку). . Тогда для нахождения неизвестной функции ние получаем сингулярное интегральное уравне-
Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have