The visualization of quadratures in the mystery of corollary 3 to proposition 41 of Newton's Principia

Abstract

When Newton gave his general solution to the inverse problem of central forces in Proposition 41 of Book I of his Principia he offered only one concrete example, the orbits for an inverse cube force with the initial velocity perpendicular to the line to the force center. This example is contained in Corollary 3 to Proposition 41. As it stands in the Principia , Corollary 3 is essentially inaccessible. An explanation of the corollary in a manuscript written by Newton seven years after the publication of the Principia made the corollary accessible to persons with a knowledge of Latin and with significant training in mathematics and physics. This explanation was “evidently written” at the request of the mathematician David Gregory, so Gregory qualifies as one person for whom the corollary became accessible. But the corollary remained inaccessible to most people interested in the history of science. An English translation and notes written by Turnbull in modern times made Corollary 3 much more accessible, but even this further explanation did not go into sufficient detail. The heart of the mystery of Corollary 3 concerns what we call “the visualization of quadratures.” In this paper we go beyond Turnbull's notes and provide a detailed analysis which makes minimal requirements on the technical background of readers. It is our hope that in this way this single important example of Newton's pathbreaking work on the inverse problem will be rendered accessible to the majority of historians of science. Quand Newton donna sa solution générale du problème inverse des forces centrales, il n'offrit qu'un seul exemple concret, celui des trajectoires pour une force (avec une vélocité initiale perpendiculaire à la ligne centrale de la force) qui est proportionnelle à l'inverse cube de la distance. Cet exemple, qui se trouve dans les Principia comme le troiséme corollaire de la proposition 41, est essentiellement inaccessible dans sa forme originelle. Répondant aux questions posées par le mathématician, David Gregory, Newton tenta de la clarifier dans un manuscrit écrit sept ans après la publication des Principia . Il y réussit à le rendre accessible au moins à ceux qui étaient versé dans le latin, les mathématiques, et la physique. Le corollaire, cependant, resta obscur pour la plupart de ceux qui s'intéressent à l'hístoire des sciences. Á l'époque moderne, Turnbull traduisit le texte et présenta un commentaire qui éclaircit certains aspects du corollaire mais qui n'entre pas suffisament dans les détails. Dans cet article, nous dépassons des notes de Turnbull en présentant une analyse détaillée du corollaire qui souligne une idée clef que nous appelons la “visualisation des quadratures” et qui n'exige qu'un minimum de compétence technique. Nous espérons donc rendre cet exemple singulier et important accessible à la plupart des historiens des sciences. Als Newton in Proposition 41 von Buch I der Principia seine allgemeine Lösung des Umkehrproblems von Zentralkräften angab, bot er nur ein konkretes Beispiel: die Umlaufbahnen, deren verursachende Kraft proportional zum Kehrwert der dritten Potenz des Abstandes ist, mit der Anfangsgeschwindigkeit senkrecht zur Richtung des Kraftzentrums. Dieses Beispiel steht in Korollar 3 zur Proposition 41. So wie es in der Principia erscheint, ist Korollar 3 grundlegend unverständlich. Eine Erklärung des Korollars in einem von Newton sieben Jahre nach der Veröffentlichung der Principia geschriebenen Manuskript machte das Korollar einem Publikum mit Lateinkenntnissen and guter Ausbildung in Mathematik and Physik zugänglich. Diese Erklärung wurde offensichtlich auf die Bitte des Mathematikers David Gregory hin geschrieben, wodurch sich Gregory als einer, für den das Korollar verstandlich war, qualifiziert. Aber das Korollar blieb für die meisten sich für Wissenschaftsgeschichte interessierenden Menschen unzugänglich. Eine englische Übersetzung and in heutiger Zeit von Turnbull geschriebene Anmerkungen machten Korollar 3 wesentlich verständlicher, aber sogar these weiteren Erklärungen gingen nicht genügend ins Detail. Der Kern des Rätsels von Korollar 3 hat mit dem zu tun, was wir “Die Veranschaulichung der Quadraturen” nennen. In diesem Artikel gehen wir über Turnbulls Anmerkungen hinaus and stellen eine detaillierte Untersuchung an, die minimale Anforderungen an technische Vorkenntnisse der Leser stellt. Unsere Hoffnung ist, daβ dadurch dieses einzelne wichtige Beispiel aus Newtons bahnbrechender Arbeit fiber das Umkehrproblem der Mehrheit der Wissenschaftshistoriker zuganglich gemacht wird.