The viscous damping of gravity waves in shallow water

Abstract

Il est nécessaire de connaître le taux de dissipation visqueuse de l'énergie d'une onde de gravité, pour pouvoir évaluer les différents procédés de formation d'une onde par le vent, et en particulier, pour le calcul de la vitesse minimale critique du vent (Miles, 1957, 1959, 1962). Une autre application se présente dans le domaine des modèles hydrauliques, dans lequel intervient généralement une certaine distorsion d'échelle (Diesel 1949, Hunt 1952). En outre, l'évaluation précise de la dissipation laminaire est condition essentielle pour l'interprétation de toute observation expérimentale sur l'amortissement des ondes, en fonction de la dissipation turbulente. Il est possible, en première approximation, d'obtenir le terme d'atténuation de l'amplitude de l'onde en eau peu profonde, à partir d'une approximation en couche limite, ainsi que le taux de dissipation d'énergie correspondant. Une telle méthode ne se prête pas aisément au calcul d'approximations d'ordre supérieur, et en des puissances inverses d'un nombre de Reynolds ; il apparaît qu'un procédé plus simple consiste à résoudre directement les équations linéarisées de Navier-Stokes, ainsi que l'équation caractéristique qui en découle. Par ailleurs, il a été supposé que les taux d'amortissement, en fonction du temps et de l'espace, pouvaient être déduits, les uns des autres, en tenant compte du flux de l'énergie de l'onde. Or, ceci n'est valable qu'en première approximation : les approximations d'ordre supérieur ne deviennent déterminées que lorsque le flux énergétique est spécifié au même ordre, ou bien lorsque le mode exact d'amortissement l'est d'une autre manière quelconque. Deux modes d'amortissement bien distincts sont examinés dans la présente étude. Le premier a trait à l'amortissement en fonction du temps, le nombre d'onde k étant réel, la fréquence σ étant complexe, et le mouvement étant, par conséquent, rigoureusement périodique en fonction de la distance. Le deuxième mode a trait à l'amortissement en fonction de la distance, k étant complexe, σ étant réelle, et, par conséquent, le mouvement étant rigoureusement périodique dans le temps. Ces deux modes sont les plus simples que l'on peut considérer, et il n'est pas nécessaire de les préciser davantage. D'autres modes font intervenir l'amortissement, à la fois dans le temps et l'espace, en fonction du flux énergétique. Dans l'hypothèse que les ondes de gravité sont de faible amplitude, dans une masse d'eau présentant une hauteur constante, le module exponentiel de l'amortissement se déduit comme série exponentielle en v1/2. On déduit, pour des coefficients, des expressions explicites jusqu'aux termes du troisième ordre. De tels développements négligent certains termes exponentiellement petits, d'ordre e-1/v1/2, lesquels, bien qu'étant négligeables, numériquement, dans la zone considérée, donnent néanmoins lieu à la singularité habituellement constatée lorsque v = 0 Les modules d'amortissement sont présentés, sous forme graphique, en fonction du nombre d'ondes k, et de la hauteur d'eau h; ils mettent en évidence la transition de l'amortissement d'ordre v1/2 en eau peu profonde, à celui d'ordre v en eau profonde. Le coefficient d'amortissement en fonction du temps sert pour la détermination de la vitesse critique minimale du vent, correspondant au début de croissance de l'onde en eau peu profonde, suivant le mécanisme d'instabilité de Miles (1957, 1959). Compte tenu de la vitesse minimale du vent, on met en équation, d'une part le taux d'alimentation d'énergie, fournie par un profil de vent moyen logarithmique, et d'autre part le taux de dissipation laminaire au sein de la masse d'eau, due au mouvement d'onde oscillatoire, et à l'exclusion de tout courant moyen : Il se montre que la vitesse minimale du vent n'augmente que de 5 % à des profondeurs de 10 cm seulement. La longueur d'onde critique correspondante diminue en hauteur d'eau décroissante, passant de 27 cm environ en eau profonde, à l'ordre de 17 cm sous une hauteur d'eau de 10 cm.