The Spanning Tree of a Divisible Multiple Graph

A V Smirnov

doi:10.3103/s0146411618070325

Abstract

In this paper, we study undirected multiple graphs of any natural multiplicity $$k > 1$$ . There are edges of three types: ordinary edges, multiple edges and multi-edges. Each edge of the last two types is a union of $$k$$ linked edges, which connect 2 or $$k + 1$$ vertices, correspondingly. The linked edges should be used simultaneously. If a vertex is incident to a multiple edge, it can be also incident to other multiple edges, and it can be the common ending vertex to $$k$$ linked edges of a multi-edge. If a vertex is the common end of some multi-edge, it cannot be the common end of any other multi-edge. Special attention is paid to the class of divisible multiple graphs. The main peculiarity of them is a possibility to divide the graph into $$k$$ parts, which are adjusted on the linked edges and which have no common edges. Each part is an ordinary graph. The definition of a multiple tree is stated and the basic properties of such trees are studied. Unlike ordinary trees, the number of edges in a multiple tree is not fixed. In the article, the estimation of the minimum and maximum number of edges in the divisible tree is stated and proved. Next, the definitions of the spanning tree and the complete spanning tree of a multiple graph are given. The criterion of completeness of the spanning tree is proved for divisible graphs. It is also proved that a complete spanning tree exists in any divisible graph. If the multiple graph is weighted, the minimum spanning tree problem and the minimum complete spanning tree problem can be set. In the article, we suggest a heuristic algorithm for the minimum complete spanning tree problem for a divisible graph.

Highlights

In this paper, we study undirected multiple graphs of any natural multiplicity k > 1
Что алгоритм может быть применен и в случае, когда граф G(X, E) не является делимым (шаг 3.8 в этом случае пропускается), однако тогда результирующее дерево не обязательно будет полным

Summary

Introduction

Кратный граф G(X, E) является связным, если одновременно выполнены два условия: 1) для любых двух вершин x ∈ X, y ∈ X, каждая из которых либо инцидентна кратному ребру, либо является общим концом мультиребра, существует кратный путь S(x, y); 2) невозможно выделить такой подграф G ⊂ G, который будет содержать только обычные ребра, и при этом подграфы G и G \ G не будут соединены ни одним ребром (обычным ребром или связанным ребром мультиребра). Фактически в связном кратном графе между каждой парой вершин должен существовать обычный (некратный) путь, использующий связанные ребра кратных и мультиребер несогласованно, а кратные пути обязательно должны существовать только для пар вершин, каждая из которых инцидентна кратным ребрам или является общим концом мультиребра.

Results

Conclusion