The renormalization transformation for two-type branching models

Abstract

Cet article etudie des systemes denombrables de diffusions en interaction hierarchiques et lineaires vivant dans le quadrant positif. De tels systemes apparaissent dans la dynamique d’individus de deux types qui migrent tout en interagissant dans des colonies. Le comportement a grande echelle et temps long peut etre etudie en utilisant le programme de renormalisation. Ce programme, qui a permis de resoudre d’autres cas (principalement uni-dimensionnels) est base sur la construction et l’analyse d’une transformation de renormalisation non lineaire, agissant sur la fonction de diffusion des composants du systeme et connectant l’evolution de blocs moyennes sur le temps a differentes echelles. Nous identifions une classe generale de fonctions de diffusion dans le quadrant positif pour lequel la transformation de renormalisation est bien definie et qui, sous une conjecture de comportement aux bords, peut-etre iteree. A l’interieur de certaines sous-classes, nous identifiens les points fixes de la transformation et etudions leurs domaines d’attraction. Ces domaines d’attraction constitutent les classes d’universalite du systeme apres changement d’echelle dans le temps et l’espace.