The quasiinvariants of the symmetric group

Abstract

For $m$ a non-negative integer and $G$ a Coxeter group, we denote by $\mathbf{QI_m}(G)$ the ring of $m$-quasiinvariants of $G$, as defined by Chalykh, Feigin, and Veselov. These form a nested series of rings, with $\mathbf{QI_0}(G)$ the whole polynomial ring, and the limit $\mathbf{QI}_{\infty}(G)$ the usual ring of invariants. Remarkably, the ring $\mathbf{QI_m}(G)$ is freely generated over the ideal generated by the invariants of $G$ without constant term, and the quotient is isomorphic to the left regular representation of $G$. However, even in the case of the symmetric group, no basis for $\mathbf{QI_m}(G)$ is known. We provide a new description of $\mathbf{QI_m}(S_n)$, and use this to give a basis for the isotypic component of $\mathbf{QI_m}(S_n)$ indexed by the shape $[n-1,1]$. Pour $m$ un entier positif ou nul et $G$ un groupe de Coxeter, nous notons $\mathbf{QI_m}(G)$ l'anneau des quasiinvariants définis par Chalykh, Feigin et Veselov. On obtient ainsi une série d'anneaux emboités, $\mathbf{QI_0}(G)$ étant l'anneau des polynômes, et la limite $\mathbf{QI}_{\infty}(G)$ l'anneau des invariants usuels. Il est remarquable que l'anneau $\mathbf{QI_m}(G)$ est librement généré sur l'idéal engendré par les invariants de $G$ sans terme constant, et le quotient est isomorphe à la représentation régulière à gauche de $G$. Cependant, même dans le cas du groupe symétrique, aucune base de $\mathbf{QI_m}(G)$ n'est connue. Nous donnons une nouvelle description de $\mathbf{QI_m}(G)$ et l'utilisons pour obtenir une base du composant isotypique de $\mathbf{QI_m}(S_n)$ indexée par la partition $(n-1,1)$.