The parabolic Anderson model in a dynamic random environment: Basic properties of the quenched Lyapunov exponent

Abstract

Dans cet article on étudie l’équation parabolique d’Anderson $\partial u(x,t)/\partial t=\kappa\varDelta u(x,t)+\xi(x,t)u(x,t)$, $x\in\mathbb{Z}^{d}$, $t\geq0$, où les champs $u$ et $\xi$ sont à valeurs dans $\mathbb{R}$, $\kappa\in[0,\infty)$ est la constante de diffusion, et $\varDelta $ est le laplacien discret. Le champ $\xi$ joue le rôle d’environnement aléatoire dynamique et dirige l’équation. La condition initiale $u(x,0)=u_{0}(x)$, $x\in\mathbb{Z}^{d}$, est choisie positive et bornée. La solution de l’équation parabolique d’Anderson décrit l’évolution d’un champ de particules effectuant des marches aléatoires simples avec un branchement binaire : les particules sautent au taux $2d\kappa$, se divisent en deux au taux $\xi\vee0$, et meurent au taux $(-\xi)\vee0$. Notre but est de prouver un certain nombre de propriétés basiques de la solution $u$ sous des conditions sur $\xi$ qui sont aussi faibles que possible. Ces propriétés vont servir d’impulsion pour de futur améliorations. Tout au long de cet article nous supposons que $\xi$ est stationnaire et ergodique sous les translations en espace et en temps, n’est pas constant et satisfait $\mathbb{E}(|\xi(0,0)|)<\infty$, où $\mathbb{E}$ représente l’espérance par rapport à $\xi$. Sous une hypothèse très faible sur les queues de la distribution de $\xi$, nous montrons que la solution de l’équation parabolique d’Anderson existe et est unique pour tout $\kappa\in[0,\infty)$. Notre principal objet d’intérêt est l’exposant de Lyapunov quenched $\lambda_{0}(\kappa)=\lim_{t\to\infty}\frac{1}{t}\log u(0,t)$. Il a été prouvé dans Gärtner, den Hollander et Maillard (In Probability in Complex Physical Systems. In Honour of Erwin Bolthausen and Jürgen Gärtner (2012) 159–193 Springer) que cet exposant existe et est constant $\xi$-a.s., satisfait $\lambda_{0}(0)=\mathbb{E}(\xi(0,0))$ et $\lambda_{0}(\kappa)>\mathbb{E}(\xi(0,0))$ pour $\kappa\in(0,\infty)$, et est tel que $\kappa\mapsto\lambda_{0}(\kappa)$ est globalement lipschitzienne sur $(0,\infty)$ à l’extérieur de n’importe quel voisinage de $0$ où il est fini. Sous certaines conditions faibles de mélange en espace-temps sur $\xi$, nous montrons les propriétés suivantes : (1) $\lambda_{0}(\kappa)$ ne dépend pas de la condition initiale $u_{0}$; (2) $\lambda_{0}(\kappa)<\infty$ pour tout $\kappa\in[0,\infty)$; (3) $\kappa\mapsto\lambda_{0}(\kappa)$ est continue sur $[0,\infty)$ mais pas lipschitzienne en $0$. Nous conjecturons en outre : (4) $\lim_{\kappa\to\infty}[\lambda_{p}(\kappa)-\lambda_{0}(\kappa)]=0$ pour tout $p\in\mathbb{N}$, où $\lambda_{p}(\kappa)=\lim_{t\to\infty}\frac{1}{pt}\log\mathbb{E}([u(0,t)]^{p})$ est le $p$-ième exposant de Lyapunov annealed. (Dans (In Probability in Complex Physical Systems. In Honour of Erwin Bolthausen and Jürgen Gärtner (2012) 159–193 Springer) les propriétés (1), (2) et (4) n’ont pas été abordées, tandis que la propriété (3) a été prouvée sous des hypothèses beaucoup plus restrictives sur $\xi$.) Finalement, nous prouvons que nos conditions faibles de mélange en espace-temps sur $\xi$ sont satisfaites par plusieurs systèmes de particules en interaction.