The Overshoot in M/G/1 Queueing Model with Weibull Service Time

Abstract

본 논문에서는 고객의 서비스시간이 와이블분포를 따르는 M/G/1 대기모형에서 작업부하량과정을 고려한다. 작업부하량은 어떤 특정한 시각에 대기 중인 고객들의 서비스시간과 서비스 받는 중인 고객의 잔여서비스 시간의 합으로 정의되는데 시각에 따라 변하는 확률변수이므로 확률과정으로서 작업부하량과정을 생각한다. 작업부하량이 0에서 출발하여 어느 정도 시간이 흐른 후 임계치를 넘어서는 순간 그 임계치를 초과한 양을 오버슛이라 부른다. 오버슛의 분포는 대기모형의 최적화 문제를 해결하기 위해서 반드시 계산해야만 하는 것이다. 고객의 서비스시간이 지수분포를 따를 때는 오버슛의 분포 역시 지수분포를 따르지만, 서비스시간이 지수분포가 아닌 다른 분포를 따를 때는 오버슛의 분포가 이론적으로만 구하여졌을 뿐, 실제로 계산하기는 거의 어려운 식으로 표현된다. 본 연구에서는 M/G/1 대기모형에서 고객의 서비스시간의 분포가 와이블분포인 경우에 오버슛의 분포를 근사적으로 계산할 수 있는 식을 제안한다. 근사식을 구하기 위하여 사전에 알려진 오버슛에 대한 성질을 이용할 것이다. 그리고 시뮬레이션을 통하여 제안한 근사식의 정확도를 평가한다.It is considered the workload process in the M/G/1 queueing model with Weibull service time. The workload means the sum of the service times of waiting customers in queue and the remaining service time of customer in service. The overshoot is the exceeding amount of workload process at the moment which the process crosses over a threshold. The distribution of the overshoot needs to be calculated for solving various optimization problem of queueing model. However, the formula for distribution of the overshoot cannot be used to manipulate the distribution function or moments of the overshoot. In this study, the approximation of the distribution function of the overshoot is proposed which is useful to solve the optimization problem of the model. To approximate the distribution function of overshoot, the properties of the Weibull distribution and some known results on the distribution of the overshoot in references are used. The simulation study is also carried to test the accuracy of the approximation. The approximated distribution function is compared with the estimated distribution function which is obtained by the simulation.