The nonlocal solvability conditions for a system of two quasilinear equations of the first order with absolute terms

Marina V Dontsova

doi:10.15507/2079-6900.21.201903.317-328

Abstract

The Cauchy problem for a system of two first-order quasilinear equations with absolute terms is considered. The study of this problem’s solvability in original coordinates is based on the method of an additional argument. The existence of the local solution of the problem with smoothness which is not lower than the smoothness of the initial conditions, is proved. Sufficient conditions of existence are determined for the nonlocal solution that is continued by a finite number of steps from the local solution. The proof of the nonlocal resolvability of the Cauchy problem relies on original global estimates.

Highlights

Sufficient conditions of existence are determined for the nonlocal solution that is continued by a finite number of steps from the local solution
The proof of the nonlocal resolvability of the Cauchy problem relies on original global estimates
“Разрешимость задачи Коши для системы квазилинейных уравнений первого порядка с правыми частями f1 = a2u(t, x) + b2(t)v(t, x), f2 = g2v(t, x)”, Уфимский математический журнал, 11:1 (2019), 26–38

Summary

Введение

В работе [1] с помощью метода характеристик проводится анализ разрешимости систем квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Задача определения условий разрешимости в исходных координатах систем нелинейных и квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка эффективно решается в рамках метода дополнительного аргумента [2–12]. В работе [2] с помощью данного метода определены условия локальной разрешимости задачи Коши в исходных координатах для системы двух квазилинейных уравнений, при которых решение имеет меньшую гладкость, чем начальные функции φ1(x), φ2(x), и указаны границы интервала разрешимости. В данной работе с помощью метода дополнительного аргумента определены достаточные условия существования и единственности локального решения задачи Коши (1.1)–(1.2), при которых решение имеет такую же гладкость по x, как и начальные функции задачи Коши, и достаточные условия нелокальной разрешимости задачи Коши (1.1)–(1.2)

Существование локального решения

Существование нелокального решения