The near-critical Gibbs measure of the branching random walk

Abstract

Considerons une marche aleatoire branchante surcritique reelle dans le cas frontiere et la mesure de Gibbs associee $\nu_{n,\beta}$ sur la $n$-ieme generation, qui est aussi la mesure de polymere sur un arbre desordonne avec temperature inverse $\beta$. La convergence de la fonction de partition $W_{n,\beta}$, apres renormalisation, vers une limite non-triviale a ete demontree par Aidekon et Shi (Ann. Probab. 42 (3) (2014) 959–993) dans le cas critique $\beta=1$ et par Madaule (J. Theoret. Probab. 30 (1) (2017) 27–63) pour $\beta>1$. On s’interesse ici au cas presque-critique, ou $\beta_{n}\to1$, et on montre la convergence de $W_{n,\beta_{n}}$, apres renormalisation, vers la limite de la martingale derivee a un facteur multiplicatif pres. D’autre part, les trajectoires de particules tirees selon la mesure de Gibbs $\nu_{n,\beta}$ ont ete etudiees par Madaule (Stochastic Process. Appl. 126 (2) (2016) 470–502) dans le cas critique, avec convergence vers le meandre brownien, et par Chen, Madaule et Mallein (On the trajectory of an individual chosen according to supercritical gibbs measure in the branching random walk (2015) Preprint) dans le regime de desordre fort, avec convergence vers l’excursion brownienne. On montre ici la convergence des trajectoires de particules tirees selon la mesure de Gibbs presque-critique et cela fait apparaitre une famille continue de processus allant du meandre jusqu’a l’excursion ou jusqu’au mouvement brownien.