The mechanics of shuffle products and their siblings

Abstract

Nous poursuivons ici le travail commencé dans (Enjalbert and Hoang Ngoc Minh, 2012) en décrivant des produits de mélanges d’algèbres de plus en plus “grandes” de fonctions spéciales (issues d’équations différentielles à pôles simples). Les étudier nous conduit à définir une classe de produits de mélange, que nous nommons φ-shuffles. Nous étudions cette classe d’un point de vue combinatoire, en commençant par étendre (sous conditions) le théorème de Radford à celle-ci, puis en construisant (toujours sous conditions) sa bigèbre. Nous analysons les conditions des résultats précités pour les simplifier en les rendant visible dès la définition du produit de mélange. Nous testons enfin ces conditions sur les produits introduits en début d’article.We carry on the investigation initiated in Enjalbert and Hoang Ngoc Minh (2012): we describe new shuffle products coming from some special functions and group them, along with other products encountered in the literature, in larger and larger classes of products, which we name φ-shuffle products. Our paper is dedicated to a study of the latter class, from a combinatorial standpoint. We consider first how to extend Radford’s theorem to the products in that class, then how to construct their bi-algebras. As some conditions are necessary to carry that out, we study them closely and simplify them so that they can be seen directly from the definition of the product. We eventually test these conditions on the products mentioned above.