Abstract
The parabolic pseudodifferential equation with the Riesz fractional differentiation operator of α ∈ (0; 1) order, which acts on a spatial variable, is considered in the paper. This equation naturally summarizes the known equation of fractal diffusion of purely fractional order. It arises in the mathematical modeling of local vortices of nonstationary Riesz gravitational fields caused by moving objects, the interaction between the masses of which is characterized by the corresponding Riesz potential. The fundamental solution of the Cauchy problem for this equati- on is the density distribution of the probabilities of the force of local interaction between these objects, it belongs to the class of Polya distributions of symmetric stable random processes. Under certain conditions, for the coefficient of local field fluctuations, an analogue of the maximum principle was established for this equation. This principle is important in particular for substantiating the unity of the solution of the Cauchy problem on a time interval where the fluctuation coefficient is a non-decreasing function.
Highlights
Ключовi слова i фрази: рiвняння фрактальної дифузiї, псевдодиференцiальне рiвняння з оператором Рiсса, потенцiал Рiсса, стiйкi симетричнi випадковi процеси Пойа, фундаментальний розв’язок, задача Кошi, принцип максимуму, нестацiонарнi гравiтацiйнi поля, локальний вплив рухомих об’єктiв
що сила F впливу на розглядуваний об'єкт Z0 визначається його локальним оточенням
На промiжку [t1; t2] стабiльної iнтенсивностi коефiцiєнта aβ(·): 1) у точцi t1 неможливе розгалуження розв’язкiв вiдповiдного ПДР (3), тобто на множинi Π[t1;t2] не iснує двох рiзних розв’язкiв u1 i u2 цього рiвняння таких, що u1(x; t1) = u2(x; t1), x ∈ Rn; 2) якщо розв’язки u1 i u2 рiвняння (3) на гiперплощинi t = t1 мають рiзнi значення, тобто u1(x; t1) < u2(x; t1), x ∈ Rn, то u1(x; t) ≤ u2(x; t), (x; t) ∈ Π[t1;t2]; 3) задача Кошi для рiвняння (3) може мати не бiльше одного класичного розв’язку, що прямує до нуля при |x| → ∞
Summary
Ключовi слова i фрази: рiвняння фрактальної дифузiї, псевдодиференцiальне рiвняння з оператором Рiсса, потенцiал Рiсса, стiйкi симетричнi випадковi процеси Пойа, фундаментальний розв’язок, задача Кошi, принцип максимуму, нестацiонарнi гравiтацiйнi поля, локальний вплив рухомих об’єктiв. Якщо цей коефiцiєнт aβ(·) на промiжку (0; T ] є додатною, неперервно-диференцiйовною функцiєю такою, що aβ(0) = 0, то розподiл Wβ на множинi R3 × (0; T ] є фундаментальним розв’язком задачi Кошi для псевдодиференцiального рiвняння (ПДР) [17]
Sign-in/Register to view highlights & summary Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a callDisclaimer: All third-party content on this website/platform is and will remain the property of their respective owners and is provided on "as is" basis without any warranties, express or implied. Use of third-party content does not indicate any affiliation, sponsorship with or endorsement by them. Any references to third-party content is to identify the corresponding services and shall be considered fair use under The CopyrightLaw.
