The Kuramoto–Sivashinsky equation. A Local Attractor Filled with Unstable Periodic Solutions

Anatoli N Kulikov,Dmitri A Kulikov

doi:10.18255/1818-1015-2018-1-92-101

Abstract

A periodic boundary value problem is considered for one version of the KuramotoSivashinsky equation, which is widely known in mathematical physics. Local bifurcations in a neighborhood of the spatially homogeneous equilibrium points in the case when they change stability are studied. It is shown that the loss of stability of homogeneous equilibrium points leads to the appearance of a two-dimensional attractor on which all solutions are periodic functions of time, except one spatially inhomogeneous state. A spectrum of frequencies of the given family of periodic solutions fills the entire number line, and they are all unstable in a sense of Lyapunov definition in the metric of the phase space (space of initial conditions) of the corresponding initial boundary value problem. It is chosen the Sobolev space as the phase space. For the periodic solutions which fill the two-dimensional attractor, the asymptotic formulas are given. In order to analyze the bifurcation problem it was used analysis methods for infinite-dimensional dynamical systems: the integral (invariant) manifold method, the Poincare normal form theory, and asymptotic methods. The analysis of bifurcations for periodic boundary value problem was reduced to analysing the structure of the neighborhood of the zero solution of the homogeneous Dirichlet boundary value problem for the considered equation.

Highlights

Действительно, рассмотрим два различных решения из семейства периодических решений (11), т.е. up(t, x, c1, φ1, ε) и up(t, x, c2, φ2, ε) (c1 = c2) и выделим "главные" части в асимптотическом представлении для этих двух решений up(t, x, c1, φ1, ε) = wp(t, x, c1, φ1, ε) + o(ε), up(t, x, c2, φ2, ε) = wp(t, x, c2, φ2, ε) + o(ε), w1(t, x) = wp(t, x, c1, φ1, ε) = c1 + ε1/2 sin(x + σ1t + φ1), σ1 = −2c1, w2(t, x) = wp(t, x, c2, φ2, ε) = c2 + ε1/2 sin(x + σ2t + φ2), σ2 = −2c2
A Local Attractor Filled with Unstable Periodic Solutions", Modeling and Analysis of Information Systems, 25:1 (2018), 92–101

Summary

Постановка математической задачи

Во-вторых, если u(t, x) – ее решение, то π. ЛДО A(c), определенный на достаточно гладких функциях p(x), удовлетворяющих условиям (6), является производящим оператором аналитической полугруппы линейных ограниченных операторов в гильбертовом пространстве H0 : f (x) ∈ H0, если. Через Hk будем обозначать гильбертово пространство, состоящее из тех 2π периодических функций f (x), у которых существуют обобщенные производные до порядка k включительно, принадлежащие L2(−π, π). Что КЗ (5), (6) имеет нулевое состояние равновесия. В частности, в работе будут рассмотрены вопросы о поведении решений при t → ∞ вспомогательной КЗ (5), (6) с начальными условиями f (x) ∈ Q(r) ⊂ H4,0. Здесь через Q(r) обозначен шар радиуса r с центром в нуле фазового пространства решений КЗ (5), (6), т.е. Здесь через Q(r) обозначен шар радиуса r с центром в нуле фазового пространства решений КЗ (5), (6), т.е. шар с центром в нуле гильбертова пространства H4,0

Линеаризованная краевая задача

Основной результат

Вспомогательная краевая задача