The Green’s function on the double cover of the grid and application to the uniform spanning tree trunk

Abstract

Nous calculons la fonction de Green sur le revêtement à deux feuillets de $\mathbb{Z}^{2}$, ramifié au-dessus d’un sommet ou d’une face. Nous utilisons ce résultat pour calculer les statistiques locales du « tronc » de l’arbre couvrant minimal sur le réseau carré, c’est-à-dire les probabilités limites des événements cylindriques conditionnées à ce que le chemin connectant deux sommets éloignés passe par une arête donnée. Nous montrons également comment calculer les statistiques locales des points triples à grande échelle de l’arbre couvrant minimal, où le tronc se sépare. La méthode consiste à ramener le problème à un système de dimères avec des monomères isolés, et nous calculons l’inverse de la matrice de Kasteleyn à l’aide de la fonction de Green sur le revêtement deux feuillets du réseau carré. Pour le tronc, les probabilités des événements cylindriques sont dans $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$, tandis que pour les points triples, les probabilités sont dans $\mathbb{Q}[1/\pi]$.