The elliptic stochastic quantization of some two dimensional Euclidean QFTs

Abstract

Nous étudions une classe d’EDPS elliptiques avec bruit gaussien additif sur R2×M, où M est une variété de dimension d équipée d’une mesure de Radon positive, et avec une non-linéarité à valeurs réelles donnée par la dérivée d’un potentiel lisse V, convexe à l’infini et de croissance au plus exponentielle. Sous des conditions assez générales sur les coefficients et sur la régularité du bruit, nous obtenons par le principe de réduction dimensionnelle discuté dans notre précédent article (Ann. Probab. 48 (2020) 1693–1741), l’identité entre la loi de la solution de l’EDPS évaluée à l’origine et une mesure de type Gibbs sur un espace de Wiener abstrait sur M. Les résultats sont ensuite appliqués à l’équation de quantisation elliptique stochastique pour un champ scalaire avec des interactions polynomiales sur T2, et avec des interactions exponentielles sur R2 (un modèle connu dans la littérature sous le nom de modèle de Høegh-Krohn ou de modèle de Liouville). En particulier, pour le cas de l’interaction exponentielle, on obtient les propriétés d’existence et d’unicité des solutions à l’équation elliptique sur R2+2, ainsi que la réduction dimensionnelle pour les valeurs du « paramètre de charge » σ=α2π< 4(8−4 3)π≃ 4.29π, pour lesquels le modèle a une mesure de probabilité euclidienne invariante et réflexion-positive (ce qui permet ainsi d’obtenir le modèle invariant relativiste correspondant sur l’espace de Minkowski de dimension 2).