The analytic continuation of volume and the Bellows conjecture in Lobachevsky spaces

Abstract

Изгибаемый многогранник в $n$-мерном пространстве постоянной кривизны $\mathbb X^n$ - это многогранник с жесткими (неизгибаемыми) $(n-1)$-мерными гранями и шарнирами в $(n-2)$-мерных гранях. Гипотеза кузнечных мехов утверждает, что при $n\geqslant 3$ объем всякого изгибаемого многогранника постоянен в процессе изгибания. Гипотеза кузнечных мехов в евклидовых пространствах $\mathbb{E}^n$ была доказана И. Х. Сабитовым для $n=3$ (1996 г.) и автором для $n\geqslant 4$ (2012 г.). Контрпримеры к гипотезе кузнечных мехов в открытых полусферах $\mathbb{S}^n_+$ были построены В. А. Александровым для $n=3$ (1997 г.) и автором для $n\geqslant 4$ (2015 г.). В этой статье мы доказываем гипотезу кузнечных мехов для ограниченных изгибаемых многогранников в нечетномерных пространствах Лобачевского. Доказательство основано на изучении аналитического продолжения объема симплекса в пространстве Лобачевского как функции гиперболических косинусов длин ребер. Библиография: 37 названий.