Testing uniformity on high-dimensional spheres: The non-null behaviour of the Bingham test

Abstract

Pour des données axiales, le test d’uniformité le plus classique sur la sphère unité de Rp est le test de Bingham (Ann. Statist. 2 (1974) 1201–1225). Dans cet article, nous étudions la puissance de ce test dans des scénarios asymptotiques de grande dimension pour lesquels p=pn diverge vers l’infini avec la taille d’échantillon n. Nous considérons une classe semiparamétrique de contre-hypothèses incluant les distributions de Watson et nous établissons une propriété de normalité locale asymptotique. Le troisième lemme de Le Cam révèle cependant que le test Bingham ne détecte pas les contre-hypothèses contiguës associées. En utilisant un théorème central limite pour des différences de martingales, nous étudions donc le comportement du test de Bingham sous des contre-hypothèses plus sévères. Loin de nous restreindre aux contre-hypothèses semiparamétriques mentionnées ci-dessus, nos résultats couvrent une large classe de contre-hypothèses à symétrie rotationnelle, ce qui nous permet de considérer également des contre-hypothèses non axiales. Dans chaque contexte distributionnel, nous obtenons le “seuil de détection” du test de Bingham, ce qui rend possible une comparaison avec le test classique d’uniformité pour des données non axiales, c’est-à-dire le test de Rayleigh (Philos. Mag. 37 (1919) 321–346). Dans le cas axial, nous déterminons une borne inférieure pour le taux de séparation minimax et établissons que le test de Bingham est minimax optimal dans la classe des distributions de Watson.