Sur le comportement, par torsion, des facteurs epsilon de paires

Abstract

RésuméSoient$F$un corps commutatif localement compact non archimédien et$\psi$un caractère additif non trivial de$F$. Soient$n$et${n}'$deux entiers distincts, supérieurs à 1. Soient$\pi$et${\pi }'$des représentations irréductibles supercuspidales de$\text{G}{{\text{L}}_{n}}\left( F \right)$,$\text{G}{{\text{L}}_{{{n}'}}}\left( F \right)$respectivement. Nous prouvons qu’il existe un élément$c=c\left( \pi ,{\pi }',\psi \right)$de${{F}^{\times }}$tel que pour tout quasicaractère modéré$\mathcal{X}$de${{F}^{\times }}$on ait$\mathcal{E}\left( \chi \pi \times {\pi }',s,\psi \right)=\chi {{\left( c \right)}^{-1}}\mathcal{E}\left( \pi \times {\pi }',s,\psi \right)$. Nous examinons aussi certains cas où$n={n}',{\pi }'={{\pi }^{\text{v}}}$. Les résultats obtenus forment une étape vers une démonstration de la conjecture de Langlands pour$F$, qui ne fasse pas appel à la géométrie des variétés modulaires, de Shimura ou de Drinfeld.