Supercritical super-Brownian motion with a general branching mechanism and travelling waves

Abstract

Nous proposons une approche probabiliste au problème classique de l’existence, de l’unicité et du comportement asymptotique des solutions monotones de l’équation de propagation de front associée à l’équation parabolique du super-mouvement brownien de mécanisme de branchement général. Bien que largement inspiré par l’approche de Kyprianou (Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 40 (2004) 53–72) pour le mouvement brownien branchant, cet article ouvre plusieurs perspectives nouvelles. Notre analyse inclut le rôle de la normalisation de Seneta–Heyde qui, dans cette situation, s’inspire du travail classique de Grey (J. Appl. Probab. 11 (1974) 669–677). Nous donnons une explication trajectorielle de la décomposition en épine (la particule immortelle d’Evans), en utilisant la $\mathbb{N}$-mesure de Dynkin–Kuznetsov comme ingrédient clef. En outre, dans l’esprit des lignes d’arrêt de Neveu nous utilisons à plusieurs reprises les mesures de sortie de Dynkin. La nature générale du mécanisme de branchement rend l’analyse du problème plus délicate et nous proposons une dichotomie exacte basée sur un moment $X(\log X)^{2}$ pour la convergence presque-sûre de la martingale dérivée (pour la valeur critique de son paramètre) vers une limite non-triviale. Ceci diffère du cas du mouvement brownien branchant (Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 40 (2004) 53–72) et de la marche aléatoire branchante (Adv. in Appl. Probab. 36 (2004) 544–581), où un écart dans les hypothèses sur les moments apparaît entre les conditions nécessaires et suffisantes. Notre approche probabiliste permet de retrouver des résultats connus d’existence, d’unicité et de comportement asymptotique pour l’équation de propagation de front reliée au super-mouvement brownien.