Submaximal factorizations of a Coxeter element in complex reflection groups

Abstract

When $W$ is a finite reflection group, the noncrossing partition lattice $NC(W)$ of type $W$ is a very rich combinatorial object, extending the notion of noncrossing partitions of an $n$-gon. A formula (for which the only known proofs are case-by-case) expresses the number of multichains of a given length in $NC(W)$ as a generalized Fuß-Catalan number, depending on the invariant degrees of $W$. We describe how to understand some specifications of this formula in a case-free way, using an interpretation of the chains of $NC(W)$ as fibers of a "Lyashko-Looijenga covering''. This covering is constructed from the geometry of the discriminant hypersurface of $W$. We deduce new enumeration formulas for certain factorizations of a Coxeter element of $W$. Lorsque $W$ est un groupe de réflexion fini, le treillis $NC(W)$ des partitions non-croisées de type $W$ est un objet combinatoire très riche, qui généralise la notion de partitions non-croisées d'un $n$-gone. Une formule (seulement prouvée au cas par cas à l'heure actuelle) exprime le nombre de chaînes de longueur donnée dans $NC(W)$ sous la forme d'un nombre de Fuß-Catalan généralisé, qui dépend des degrés invariants de $W$. Nous décrivons une stratégie visant à comprendre certaines spécifications de cette formule de manière uniforme, en utilisant une interprétation des chaînes de $NC(W)$ comme fibres d'un "revêtement de Lyashko-Looijenga''. Ce revêtement est construit à partir de la géométrie de l'hypersurface du discriminant de $W$. Nous en déduisons de nouvelles formules de comptage pour certaines factorisations d'un élément de Coxeter de $W$.