Stein’s method for functions of multivariate normal random variables

Abstract

Par le theoreme de l’application continue, si une suite $(\mathbf{W}_{n})_{n\geq1}$ de vecteurs aleatoires de dimension $d$ converge en loi vers une loi normale multivariee $\Sigma^{1/2}\mathbf{Z}$, alors la suite des variables aleatoires $(g(\mathbf{W}_{n}))_{n\geq1}$ converge en loi vers $g(\Sigma^{1/2}\mathbf{Z})$ si $g:\mathbb{R}^{d}\rightarrow\mathbb{R}$ est continue. Dans cet article, nous developpons la methode de Stein pour obtenir des bornes explicites sur la distance entre $g(\mathbf{W}_{n})$ et $g(\Sigma^{1/2}\mathbf{Z})$, pour des metriques lisses sur l’espaces des probabilites. Nous obtenons plusieurs bornes dans le cas ou la $j$-eme coordonnee de $\mathbf{W}_{n}$ est donnee par $W_{n,j}=\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^{n}X_{ij}$, ou les $X_{ij}$ sont independants. En particulier, si $g$ verifie certains conditions de derivabilite et de croissance, nous obtenons une borne d’ordre $n^{-(p-1)/2}$, pour des fonctions-test lisses, si les $p$ premiers moments des $X_{ij}$ coincident avec ceux de la loi normale. Si $p$ est un entier pair et $g$ est une fonction paire, ce taux de convergence peut etre encore ameliore en $n^{-p/2}$. Nous montrons que ces taux de convergence sont d’ordre optimal. Nous appliquons nos bornes generales a quelques exemples, incluant l’approximation en loi de statistiques suivant asymptotiquement une loi du chi-deux; l’approximation d’esperances de fonctions lisses de variables aleatoires de loi binomiales ou de Poisson; des taux de convergence pour la methode $\delta$; et une approximation variance-gamma quantitative de la statistique $D_{2}^{*}$ pour la comparaison sans alignement, dans le cas de suites binaires.