Stability of periodic waves in Hamiltonian PDEs

Abstract

Les équations aux dérivées partielles munies d’une structure hamiltonnienne sont connues pour admettre des familles entières d’ondes progressives périodiques. C’est le cas pour l’équation de Korteweg–de Vries et de nombreux autres modèles plus ou moins classiques. L’étude de la stabilité de ces ondes en est cependant encore à ses balbutiements. Plusieurs approches sont possibles. L’une d’elles est bien sûr l’analyse spectrale des équations linéarisées. Toutefois, le lien avec la stabilité non-linéaire, et en fait la stabilité orbitale puisque ce sont des problèmes invariants par translation, est loin d’être clair. Car on ne peut espérer qu’une stabilité spectrale neutre, étant donné que la structure hamiltonnienne exclut l’existence d’un trou spectral, et ce même en faisant abstraction de la valeur propre nulle, liée à l’invariance par translation. D’autres méthodes pour étudier la stabilité des ondes progressives périodiques consistent à tirer parti de la structure sous-jacente. C’est naturellement le cas de l’approche variationnelle. Celle-ci consiste à utiliser le hamiltonnien, ou plus précisément une fonctionnelle modifiée pour tenir compte des autres quantités conservées, comme fonction de Lyapunov. Lorsqu’elle s’applique, cette méthode est très efficace et donne directement accès à la stabilité orbitale. Une troisième voie est la théorie de la modulation, dont les fondements ont été posés par Whitham à l’orée des années 1970. L’objectif est ici de présenter quelques résultats récents, valant pour des équations et systèmes du type de l’équation Korteweg–de Vries, qui mettent en relation les approches spectrale, variationnelle et modulationnelle.