Stabilité Homologique pour les Groupes d’automorphismes des Produits Libres

Abstract

On montre dans cet article que, pour tout groupe G indécomposable pour le produit libre * et non isomorphe à Z, l’inclusion canonique Aut(G*n)→Aut(G*n+1) induit un isomorphisme entre les groupes d’homologie Hi pour n≥2i+2, comme l’avaient conjecturé Hatcher et Wahl. En fait, on montre un peu plus—en particulier, le résultat vaut pour tout groupe G à condition de remplacer le groupe des automorphismes du produit libre par le sous-groupe des automorphismes symétriques. Nous nous appuyons pour cela sur des constructions et résultats d’acyclicité dus à McCullough-Miller et Chen-Glover-Jensen et sur des propriétés de fonctorialité qui nous permettent d’utiliser des méthodes classiques d’homologie des foncteurs. We show in this article that, for any group G indecomposable for the free product * and non-isomorphic to Z, the canonical inclusion Aut(G*n)→Aut(G*n+1) induces an isomorphism between the homology groups Hi for n≥2i+2, as was conjectured by Hatcher and Wahl. In fact, we show a little more—in particular, the result is true for any group G if we replace the automorphism group of the free product by the subgroup of symmetric automorphisms. For this purpose, we use constructions and acyclicity results due to McCullough–Miller and Chen–Glover–Jensen and functoriality properties which allow us to apply classical methods in functor homology.