Spectral analysis of the zigzag process

Abstract

Le processus de ZigZag est une variante du processus du télégraphe avec des intensités de retournement dépendant de la position. Nous obtenons une caractérisation du spectre en norme L2 du générateur du processus de zigzag unidimensionnel, dans le cas où la distribution marginale stationnaire sur R est unimodale, avec une fréquence de rééchantillonnage nulle. Nous obtenons des conditions suffisantes pour un théorème d’isomorphisme spectral, identifiant le spectre du générateur à celui du semi-groupe de Markov correspondant. Par ailleurs, nous obtenons des résultats pour les distributions stationnaires symétriques ainsi que pour les perturbations du spectre dans le cas particulier d’une fréquence de rééchantillonnage non nulle. Enfin, nous considérons dans les exemples (avec une distribution cible gaussienne) un faible taux de rafraichissement positif par rapport aux résultats du taux nul, ce qui induit une plus grande bande dans le spectre L2, correspondant à une convergence améliorée en norme L2.