Sparse random matrices have simple spectrum

Abstract

On définit une classe $M_{n}$ de matrices symétriques clairsemées, à coefficients indépendants, en posant $M_{ij}=\delta _{ij}\xi _{ij}$ pour $i\leq j$, où les $\delta _{ij}$ sont des variables aléatoires de Bernoulli i.i.d. prenant la valeur $1$ avec probabilité $p\geq n^{-1+\delta }$ pour une constante $\delta >0$ arbitraire, et les $\xi _{ij}$ sont des variables aléatoires sous-gaussiennes i.i.d. centrées. Nous montrons qu’avec une grande probabilité, cette classe de matrices aléatoires a un spectre simple, c’est-à-dire que les valeurs propres sont de multiplicité $1$. Une légère modification de la démonstration de ce résultat permet de montrer montrer que la matrice d’adjacence d’un graphe d’Erdős–Rényi clairsemé a un spectre simple pour $n^{-1+\delta }\leq p\leq 1-n^{-1+\delta}$. Ces résultats sont optimaux en les exposants. Le résultat pour les graphes a des liens avec le célèbre problème de l’isomorphisme de graphe.