Abstract
A method of problem solution of the eigenvalues and eigenfunctions for the Helmholtz equation in the domains with arbitrary configuration is worked out. In developing the approach of the numerical solution of problems, the point-source method (PSM) is used. The proposed method is based on the analysis of the condition number of the PSM system or error of the problem numerical solution. The concept of “eigenvalues criterion” is introduced. The research result is a developed effective method - an algorithm for solving problems of eigenvalues and eigenfunctions for the Helmholtz equation. It is shown that at the approach of the Helmholtz parameter to the problem eigenvalue, the condition number of the PSM system and the error of the numerical solution rise sharply. Therefore, the dependence of the condition number of the PSM system or the error of the problem numerical solution can be calculated from the Helmholtz parameter. Then, according to the position of the maximum of the obtained dependences, the eigenvalues of the Helmholtz equation in a given domain are found. It allows searching the eigenvalues. After finding the eigenvalues, it is possible to proceed to the determination of the eigenfunctions. At that, if the eigenvalue appears degenerate, that is some eigenfunctions correspond to it, then it is possible to find all the eigenfunctions taking into account the symmetry of the solution domain. The two-dimensional and three-dimensional test problems are solved. Upon the results obtained, the conclusion about the efficiency of the proposed method is made.
Highlights
Разработан способ решения задач вычисления собственных значений и собственных функций для уравнения Гельмгольца в областях с произвольной конфигурацией
The proposed method is based on the analysis of the condition number of the point-source method (PSM) system or error of the problem numerical solution
The dependence of the condition number of the PSM system or the error of the problem numerical solution can be calculated from the Helmholtz parameter
Summary
Решение задач на собственные значения для уравнения Гельмгольца методом точечных источников поля*. Что при приближении параметра Гельмгольца к собственному значению задачи число обусловленности системы МТИ и погрешность численного решения резко возрастают. Определив зависимость погрешности численного решения задачи или числа обусловленности системы МТИ от параметра Гельмгольца, можно по расположению максимума для полученных зависимостей найти собственные значения уравнения Гельмгольца в заданной области. Одним из эффективных методов численного решения граничных задач для ряда уравнений эллиптического типа является метод точечных источников поля (МТИ) [1–7]. Применение МТИ может быть оправдано также при решении задач на собственные значения для уравнений эллиптического типа, например, уравнения Гельмгольца [18, 19]. Собственные значения краевой задачи можно приближенно установить в процессе получения зависимости от параметра Гельмгольца λ детерминанта или числа обусловленности системы МТИ, или погрешности численного решения краевой задачи.
Sign-in/Register to view highlights & summary Sign-in/Register to access full text options 
Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a callMore From: Вестник Донского государственного технического университета
Disclaimer: All third-party content on this website/platform is and will remain the property of their respective owners and is provided on "as is" basis without any warranties, express or implied. Use of third-party content does not indicate any affiliation, sponsorship with or endorsement by them. Any references to third-party content is to identify the corresponding services and shall be considered fair use under The CopyrightLaw.
