Small positive values for supercritical branching processes in random environment

Abstract

Les processus de branchement en environnement aleatoire $(Z_{n}\colon n\geq0)$ sont une generalisation des processus de Galton Watson ou a chaque generation, la reproduction est choisie de maniere i.i.d. Dans le regime surcritique, ces processus survivent avec probabilite positive et croissent alors geometriquement. Ce papier considere l’evenement rare ou le processus prend des valeurs non nulles mais bornees en temps long. Nous decrivons ainsi le comportement asymptotique de $P(1\leq Z_{n}\leq k\vert Z_{0}=i)$ quand $n\rightarrow\infty$. Plus precisement, nous caracterisons la vitesse exponentielle alaquelle $\mathbb{P}(Z_{n}=k\vert Z_{0}=i)$ tend vers zero en utilisant une representation en epine due a Geiger. Nous donnons alors des bornes pour cette vitesse. Si la loi de reproduction est lineaire fractionnaire, la vitesse devient plus explicite et deux regimes apparaissent. Nous montrons par ailleurs que ces regimes affectent le comportement asymptotique de l’ancetre commun le plus recent de la population en vie a l’instant n quand cette derniere est conditionnee a prendre de petites valeurs en temps long.