Abstract
This paper is intented to study both free and forced vibration of a nonlinear structure with cyclic symmetry, under geometric nonlinearity, through use of the harmonic balance method (HBM). In order to study the influence of nonlinearity due to the large deflection of blades, a simplified model has been developed. After adjusting the model parameters, this approach leads to a system of linearly-coupled, second-order nonlinear differential equations, in which nonlinearity appears via quadratic and cubic terms. Periodic solutions, are sought by applying HBM coupled with an arc length continuation method. In the free case, in addition to featuring similar and nonsimilar nonlinear modes, the unforced system is shown to contain localized nonlinear modes. In the forced case, several cases of excitation have been analyzed (low-engine-order excitation and detuned excitation) and we study the influence of the excitation level on the structure of dynamical response. For a sufficiently-detuned excitation, we show that several solutions can coexist, some of them being represented by closed curves in the frequency-amplitude domain.
Highlights
Dans le cas lineaire, en raison de la symetrie parfaite du probleme, l’ ́etude de cesequations fait apparaıtre en NomenclatureAk, Bk Coefficients de la harmonic balance method (HBM)F (t) Forces externes dans le domaine temporel.G(Y, ω) Systeme d’ ́equation algebrique issu de la HBM JYMatrice jacobienne de G par rapport a YM, K Matrices de masse et de raideurX (t) Vecteur des d.d.l. dans le domaine temporel YVecteur des coefficients de la HBM np Nombre de secteurs wj Deplacement transverse du secteur j (m) xj Coordonnee de Ritz pour le secteur j (d.d.l.) (m) δCoefficient d’amortissement
Apres avoir calcule une expression du lagrangien en fonction des deplacements transverses de chaque secteur, on discretise le systeme en s’appuyant sur une approche de Ritz [9]
Les resultats de la partie precedente, ont permis de retrouver les differents modes de vibration presentes dans la litterature pour des structuresa symetrie cyclique soumises ades non-linearites [6]
Summary
En raison de la symetrie parfaite du probleme, l’ ́etude de cesequations fait apparaıtre en Nomenclature. Dans le cas non-lineaire, l’ ́etude des vibrations libres repose sur la definition des modes non-lineaires (MNL) [3, 4]. Dans [1, 5], Peeters utilise une methode de tir pour calculer les modes normaux non-lineaires d’un systemea symetrie cyclique et met enevidence des modes similaires et non similaires et montre l’existence d’interactions modales. Dans le cas libre ou force, si le couplage entre les sousstructures est suffisamment faible ou si la non-linearite est suffisamment forte, Vakakis [6] a montre que des phenomenes de localisation sont possibles pour des structures cycliques parfaitement symetriques. Apres avoir calcule une expression du lagrangien en fonction des deplacements transverses de chaque secteur, on discretise le systeme en s’appuyant sur une approche de Ritz [9].
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